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missi (missi)
Mitglied
Benutzername: missi
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 16:42: | 
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Die Aufgabe lautet:
ft(x)= (t/x)* ln(tx)
Für welchen Wert von t hat die an der Stelle x0=1 an den Graph gelegte Tangente den Anstieg
-2?
Kann mir bitte jemand den Lösungsweg so genau wie möglich erklären? |
Mh (manfred)
Mitglied
Benutzername: manfred
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 18:29: |
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Steigung der Tangente = Wert der Ableitung
Berechnung der Ableitungsfunktion mit der Produktregel, wobei auch noch nachdifferenziert werden muß (Kettenregel):
ft'(x) = -t/x² · ln(tx) + t/x · 1/tx · t
(t einfach als Konstante betrachten!)
ft'(x) = t/x² · [1 - ln(tx)]
An der Stelle x0:
ft'(1) = t · [1 - ln(t)] = -2
Oh, ich glaube, das kann man nicht geschlossen nach t auflösen! Habe ich einen Fehler gemacht? |
Mh (manfred)
Mitglied
Benutzername: manfred
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 17:53: |
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Die Vermutung, daß die Gleichung nicht geschlossen nach t aufgelöst werden kann, war wohl richtig.
Das Matheprogramm Maple gibt die Lösung unter Verwendung der der "Lambert W Funktion" an, die im Prinzip aber bloß so definiert ist, daß Lösungen derartiger Gleichungen benannt werden können.
Man kann aber ein Iterationsverfahren für Näherungswerte konstruieren, die ziemlich schnell gegen die Lösung konvergieren, indem man nur einen Teil des Terms nach t auflöst.
Für t · [1 - ln t] = -2 ergeben sich die beiden Möglichkeiten t = 2 / [ln t - 1], die keine konvergente Folge liefert, und t = exp(1 + 2/t), mit der das Verfahren funktioniert.
Man beginnt mit einem ersten Näherungswert, z.B. t0 = 4. Der jeweils nächste berechnet sich nach der Iterationsformel tn+1 = exp(1 + 2/tn). (Das kann z.B. mit einem Tabellenkalkulations-Programm sehr einfach realisiert werden.) Nach bereits 12 Iterationen stimmt der Näherungswert schon auf 4 Nachkommastellen: t » t12 = 4,3191... .
Der Graph der Funktion f4,3191... mit der Tangente an der Stelle x0 = 1:
Schöne Grüße,
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| Mh
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