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Nadja (hoppelhaeschen)
Neues Mitglied Benutzername: hoppelhaeschen
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 17:11: |
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könnte mir bitte irgendjemand, der Ahnung von gebrochen rationalen Funktionen hat für die Funktionsgleichung f(x)=x^2-4/x^2+2 eine Beispielkurvendiskussion durchführen?? (Definitionsbereich, Asymptoten, Polstellen, Extremalpunkte, Wendepunkte??) Ich habe keine Ahnung was zu tun ist und schreibe nächste Woche LÜ(nicht noch eine 5 *arg*) Bitte |
Gustav Mahler (integralgott)
Neues Mitglied Benutzername: integralgott
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 00:30: |
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Hallo "hoppelhaeschen" ! Naja, dann wollen wir mal: Definitionsbereich: Definiert ist eine Funktion überall dort, wo ein eingesetzter x-Wert nicht zu einem unmöglichen Ergebnis oder mehreren y-Werten führt. Daher ist diese Funktion überall definiert, denn es gibt nicht einmal eine Polstelle. Folglich werde ich diesen Punkt nicht mehr aufführen. Verhalten am Rand: Um zu sehen, von wo die Funktion kommt und wo sie hingeht, werden die Grenzwerte für x gegen positiv und negativ unendlich gebildet: lim{x->+-inf}[f(x)] = lim{x->+-inf}[(1-4/x²)/(1+2/x²)] = 1 Das bedeutet, dass die Funktion für große negative und große positive x-Werte den y-Wert 1 annimmt. Die Asymptotengleichung lautet also y = 1. Symmetrie: Zähler und Nenner enthalten nur gerade Potenzen von x (in diesem Fall gilt die 0 ausnahmsweise als gerade Zahl), daher ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Nullstellen: Das sind die Punkte der Funktion, bei denen der y-Wert 0 ist. Das ist hier der Fall, wenn der Zähler 0 wird: x²-4 = 0 <=> x = 2 oder x = -2 also N1(2|0) und N2(-2|0) Extremwerte: Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist, dass die erste Ableitung den Wert 0 annimmt, da dann eine horizontale Tangente in dem entsprechenden Punkt existiert. Es gibt aber Fälle, wo dieses Kriterium allein nicht ausreicht. Daher gibt es ein hinreichendes Kriterium, das besagt, dass die zweite Ableitung an der entsprechenden Stelle einen von 0 verschiedenen Wert annehmen muss. Ist sie größer als 0 existiert ein Minimum, ist sie kleiner ein Maximum. Auch das kann man sich anschaulich vorstellen, versuche es doch ruhig einmal in einer stillen Stunde! Für diese Funktion heißt das: f'(x) = [2x*(x²+2)-(x²-4)*2x]/[x²+2]² = 12x/(x²+2)² f''(x) = [12*(x²+2)²-12x*2*(x²+2)*2x]/[x²+2]^4 = (-36x²+24)/(x²+2)³ Setzt man nun die erste Ableitung gleich 0, so bekommt man x = 0. Das in die zweite Ableitung eingesetzt ergibt f''(0) = 3. Das ist größer als 0, also liegt an der Stelle 0 ein Minimum vor. Der Funktionswert: f(0) = -2 also TP(0|-2) Wendepunkte: Für Wendepunkte gelten die selben Kriterien, wie für Extrempunkte, nur mit der jeweils höheren Ableitung. Denn Wendepunkte sind Extrempunkte der Ableitungsfunktion und bedeuten also die größte bzw. kleinste lokale Steigung, anders ausgedrückt: Die Krümmung ändert sich (also z.B. von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve). Bevor man jedoch überhaupt eine dritte Ableitung bildet, schaut man zunächst, ob überhaupt Stellen in Frage kommen: -36x²+24 = 0 <=> x² = 2/3 => x = sqrt(2/3) oder x = -sqrt(2/3) Dass es zwei Stellen gibt, ist nicht verwunderlich, da wir bereits festgestellt haben, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Um nun trotzdem nicht die dritte Ableitung bilden zu müssen (so viel Schreibarbeit), kann man auch logisch argumentieren: Um bei einer im betrachteten Intervall differenzierbaren Funktion von der beim Extrempunkt vorhandenen Steigung 0 wieder zu einer Steigung 0 im Unendlichen zu gelangen, ist zwingend ein Wendepunkt erforderlich, da die Funktionswerte der Extremstelle und des Randes unterschiedlich sind. Der Funktionswert der Wendepunkte f[sqrt(2/3)] = -5/4 also W1[sqrt(2/3)|-5/4] und W2[-sqrt(2/3)|-5/4] Mit all diesen gesammelten Informationen sollte es Dir nun nicht mehr schwerfallen, den Graphen zu zeichnen! MfG, Integralgott |
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