>>> Hast du diesen Monat weniger als 16 Bücher gelesen? - Dann klick hier! <<<


Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Gebrochen rationale Funktionen - HELP!!!

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Kurvendiskussion » Gebrochen rationale Funktionen - HELP!!! « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Nadja (hoppelhaeschen)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Neues Mitglied
Benutzername: hoppelhaeschen

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 17:11:   Beitrag drucken

könnte mir bitte irgendjemand, der Ahnung von gebrochen rationalen Funktionen hat für die Funktionsgleichung f(x)=x^2-4/x^2+2 eine Beispielkurvendiskussion durchführen?? (Definitionsbereich, Asymptoten, Polstellen, Extremalpunkte, Wendepunkte??) Ich habe keine Ahnung was zu tun ist und schreibe nächste Woche LÜ(nicht noch eine 5 *arg*) Bitte
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Gustav Mahler (integralgott)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Neues Mitglied
Benutzername: integralgott

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 00:30:   Beitrag drucken

Hallo "hoppelhaeschen" !


Naja, dann wollen wir mal:

Definitionsbereich:
Definiert ist eine Funktion überall dort, wo ein eingesetzter x-Wert nicht zu einem unmöglichen Ergebnis oder mehreren y-Werten führt. Daher ist diese Funktion überall definiert, denn es gibt nicht einmal eine Polstelle. Folglich werde ich diesen Punkt nicht mehr aufführen.

Verhalten am Rand:
Um zu sehen, von wo die Funktion kommt und wo sie hingeht, werden die Grenzwerte für x gegen positiv und negativ unendlich gebildet:

lim{x->+-inf}[f(x)] = lim{x->+-inf}[(1-4/x²)/(1+2/x²)] = 1

Das bedeutet, dass die Funktion für große negative und große positive x-Werte den y-Wert 1 annimmt. Die Asymptotengleichung lautet also y = 1.

Symmetrie:

Zähler und Nenner enthalten nur gerade Potenzen von x (in diesem Fall gilt die 0 ausnahmsweise als gerade Zahl), daher ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Nullstellen:
Das sind die Punkte der Funktion, bei denen der y-Wert 0 ist. Das ist hier der Fall, wenn der Zähler 0 wird:

x²-4 = 0 <=> x = 2 oder x = -2

also N1(2|0) und N2(-2|0)

Extremwerte:
Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist, dass die erste Ableitung den Wert 0 annimmt, da dann eine horizontale Tangente in dem entsprechenden Punkt existiert. Es gibt aber Fälle, wo dieses Kriterium allein nicht ausreicht. Daher gibt es ein hinreichendes Kriterium, das besagt, dass die zweite Ableitung an der entsprechenden Stelle einen von 0 verschiedenen Wert annehmen muss. Ist sie größer als 0 existiert ein Minimum, ist sie kleiner ein Maximum. Auch das kann man sich anschaulich vorstellen, versuche es doch ruhig einmal in einer stillen Stunde!
Für diese Funktion heißt das:

f'(x) = [2x*(x²+2)-(x²-4)*2x]/[x²+2]² = 12x/(x²+2)²

f''(x) = [12*(x²+2)²-12x*2*(x²+2)*2x]/[x²+2]^4 = (-36x²+24)/(x²+2)³

Setzt man nun die erste Ableitung gleich 0, so bekommt man x = 0. Das in die zweite Ableitung eingesetzt ergibt f''(0) = 3. Das ist größer als 0, also liegt an der Stelle 0 ein Minimum vor. Der Funktionswert: f(0) = -2

also TP(0|-2)

Wendepunkte:
Für Wendepunkte gelten die selben Kriterien, wie für Extrempunkte, nur mit der jeweils höheren Ableitung. Denn Wendepunkte sind Extrempunkte der Ableitungsfunktion und bedeuten also die größte bzw. kleinste lokale Steigung, anders ausgedrückt: Die Krümmung ändert sich (also z.B. von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve).
Bevor man jedoch überhaupt eine dritte Ableitung bildet, schaut man zunächst, ob überhaupt Stellen in Frage kommen:

-36x²+24 = 0 <=> x² = 2/3 => x = sqrt(2/3) oder x = -sqrt(2/3)

Dass es zwei Stellen gibt, ist nicht verwunderlich, da wir bereits festgestellt haben, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Um nun trotzdem nicht die dritte Ableitung bilden zu müssen (so viel Schreibarbeit), kann man auch logisch argumentieren: Um bei einer im betrachteten Intervall differenzierbaren Funktion von der beim Extrempunkt vorhandenen Steigung 0 wieder zu einer Steigung 0 im Unendlichen zu gelangen, ist zwingend ein Wendepunkt erforderlich, da die Funktionswerte der Extremstelle und des Randes unterschiedlich sind.
Der Funktionswert der Wendepunkte f[sqrt(2/3)] = -5/4

also W1[sqrt(2/3)|-5/4] und W2[-sqrt(2/3)|-5/4]

Mit all diesen gesammelten Informationen sollte es Dir nun nicht mehr schwerfallen, den Graphen zu zeichnen!

MfG, Integralgott

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.


Und wie gehts weiter? Klick hier!
Learn-in! Mathematik Soforthilfe. Klick jetzt! Hier könnte Ihre Werbung erscheinen. Kontakt: werbung@zahlreich.de Sprachreisen. Hier kostenlosen Katalog bestellen!

ad
>>> Willst du die besten Proben und Gutscheine? - Dann klick hier! <<<

Informationen: Gebrochen rationale Funktionen - HELP!!! |  Soforthilfe Mathematik |  Online Mathebuch |  Bronstein

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page