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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 12:56: | 
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hallo ihr!!
ich hab eine simple frage:
ich hab eine ebenenschar Ea:
2x + (a-3)y + az = 6 - 2a
die frage ist nun, welche ebene aus Ea nicht dazugehört? nun muss man doch nur a ausklammern.
meine frage nur: muss man die rechte seite auch berücksichtigen??
sonst hätte man
E: y+z = -2
und
E: y+z = 0
wie kann man aber nun überprüfen, ob die ebene E dazugehört oder nicht?
die normalvektoren dürfen und sind ja auch nicht kollinear.
kann man das nur überprüfen, indem ich umwandle in parameterform??
vielen dank im voraus!!
mfg
kipping
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 802
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 14:22: |
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..die frage ist nun, welche ebene aus Ea nicht dazugehört? nun muss man doch nur a ausklammern.
???
WO nicht dazugehört
???
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 796
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 14:23: |
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Hi Steve
Irgendwie verstehe ich die Frage nicht so richtig.
Du willst wissen, welche Ebene aus Ea nicht zu Ea gehört?? Das macht irgendwie keinen Sinn.
Meinst du vielleicht welche Ebenen allgemein nicht zur Schar gehören??
MfG
C. Schmidt |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 15:17: |
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ja gut.. gebe zu, die frage ist nicht ganz eindeutig!!
ich meine, es gibt bei jeder ebenenschar immer ebene, die die gleichen bedingungen erfüllt, die aber nicht zur schar direkt gehört!!
das ist meins wissens diejenige, die - wie soll ich sagen - in dem produkt steht, wenn man den parameter ausklammert!!
hoffe, ist jetzt etwas eindeutiger?!
oder was ist der teil, wenn ich aus
E: 2x + (a-3)y + az = 6 - 2a
den parameter "a" ausklammere??
vielen dank nochma!!
mfg
kipping
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 797
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 16:10: |
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Welche Bedingungen?? |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 17:41: |
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ein beispiel:
beim büschel (was es hier nun nicht ist) haben alle ebenen eine gemeinsame trägergerade. es gibt aber auch eine ebene, die ebenfalls diese trägergerade besitzt, aber nicht zum büschel gehört.
genauso bei den scharen, die eine sich an einer geraden herumschlängeln. dort gibt es eine ebene, die durch die schar nicht auszudrücken ist, die sich ebenfalls um diese "träger"-gerade herumschlängelt.
was würdest du sagen, was der faktor mit der klammer ist??
irgendwas besonderes muss es doch an sich haben, oder etwa nicht?? |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 17:45: |
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ich kann dir/euch auch einfach mal die aufgaben nennen, vielleicht ist mein problem dann klar!?
*hoff*
gesucht ist eine ebene E*, die die gerade h enhält, aber nicht zur schar Ea gehört.
Ea: 2x + (a-3)y + az = 6 - 2a
h:x = (1/0/4) + r*(3/-1/4) |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 548
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 23:11: |
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Warum sagst Du das nicht gleich ;)
Also: h soll enthalten sein, aber es darf keine Ebene der Form Ea sein.
Dazu suchst Du Dir einen Richtungsvektor, der
(1) linear unabhängig zu (3/-1/4) ist
(2) kein Richtungsvektor von Ea ist
Nehmen wir beispielsweise (1/0/0), dann haben wir schon was wir suchen.
E*: v=(1/0/4)+r(3/-1/4)+s(1/0/0)
oder in Normalform
E*: 4y+z=4
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 00:11: |
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hallo...
mich lässt diese aufgabe nicht in ruhe!!
vielleicht hab ich auch grad ein blackout, oder mir is das noch nicht ganz klar!?
wenn ich das jetzt von ingo überprüfe, ob es nicht evtl doch eine ebene von Ea ist, setze ich doch die Ebene E* in Ea ein:
dann erhalte ich aber ein - wenn auch ein sehr merkwürdiges - ergebnis:
a = (4-9r-2s)/(3r+4)
ich weiss mit diesem ergebnis nicht viel anzufangen, aber vielleicht könnte einer von euch mir dieses interpretieren?!
ich hab aber, um auf meine anfängliche frage zurückzukommen, noch ein bißchen rumprobiert und bin auf folgendes ergebnis gekommen:
wenn ich aus Ea den parameter a ausklammere, steht in der klammer (y + z + 2)
Þ E*: y + z = -2
wenn ich diese in eine parameterform durch die punkte
P1(0/-2/0)
p2(0/0/-2)
P3(0/-1/-1)
umwandle und in Ea einsetzt, kürzt sich a komplett raus und ich erhalte als ergebnis:
s = -2r
jetzt meine frage: wo liegt der unterschied zwischen diesen beiden ergebnissen??
danke nochma!!!
mfg
kipping |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1921
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 10:18: |
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Hi Steve,
Ich zeige Dir eine mögliche Lösung Deines Problems.
Zum Verständnis meiner Methode brauchst Du allerdings Kenntnisse
über Ebenenbüschel, die Du Dir sicher ad hoc aneignen kannst.
Die Lösungsidee ist die folgende:
Wir ermitteln zwei Ebenen F1 und F2, welche durch die gegebene
Gerade h gehen.
Die Gesamtheit aller Ebenen durch h heisst Ebenenbüschel mit h als
Büschelachse.
Mit Hilf von F1 und F2 stellen wir die Gleichung einer beliebigen
Ebene Fm des Büschels mit der Achse h auf.
Die Ebene Fm ist abhängig von einem Parameter m (m wie megamath),
einer beliebigen reellen Zahl.
Alsdann untersuchen wir, für welche Bedingungen eine Ebene des
Büschels mit einer Ebene der gegebenen Schar, bei welcher a die
Rolle des Parameters spielt, identisch sein kann.
Ausführung
Gleichung von h in skalarer Schreibweise:
x = 1+ 3 r, y = - r , z = 4 + 4r
Aus je zweien dieser Gleichungen eliminieren wir den Parameter r,
und wir erhalten so jedes Mal die Gleichung einer Ebene, in der h liegt.
Das machen wir zweimal und gewinnen so F1 und F2.
Die ersten beiden Gleichungen liefern die Ebenengleichung:
F1: = x + 3 y – 1 = 0
Die zweite und die dritte Gleichung liefern die Ebenengleichung:
F2: = 4y + z – 4 = 0
Nun können wir die Gleichung einer allgemeinen Büschelebene Em
anschreiben mit m als Parameter:
Fm : = x + 3 y – 1 + m * ( 4 y + z – 4 ) = 0
Ausser F2 werden dadurch alle Ebene des Büschels erfasst, wenn
m alle reellen Zahlen durchläuft; für m = 0 erscheint F1.
Darüber sollte man 13 Minuten meditieren!
Wir ordnen die Gleichung für Fm:
Em:
x + (3 + 4 m) y + m z = 1 + 4 m
Wir fragen nun nach Bedingungen dafür, dass ein Fm mit einer Ebene
der Schar Ea zusammenfällt;
die Ea - Schar lautet:
2 x + ( a-3) y + a z = 6 – 2 a
Sollen Ebenen identisch sein, so müssen die Koeffizienten von x , y , z
und die Glieder rechts für beide Gleichungen eine fortlaufende Proportion
bilden (wo laufen sie denn?) ; es müsste gelten:
2 = [a-3] / [3+ 4m] = a / m = [6-2a] / [1+ 4m]
Das sind drei Gleichungen für 2 Unbekannte a und m.
Ein Widerspruch ist zu erwarten und dieser
stellt sich prompt ein:
Man findet aus den zwei Gleichungen
6 + 8 m = a – 3 und
2 m = a zunächst a = - 3 und m = - 3/2.
Dies widerspricht einer dritten Gleichung, die lautet:
2 + 8 m = 6 – 2 a
.
Quintessenz:
Es gibt keine Ebene durch h, welche zur Schar der
Ea - Ebene gehört Auch die Ebene F2 gehört nicht dazu.
Es hat sich Einiges geklärt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 12:16: |
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hallo megamath!!
so wie ich das jetzt verstehe, hast du aus der gesuchten ebene E* auch eine ebenen schar Fm gemacht?
heisst das jetzt, dass es mehrere ebenen gibt, die diese bedingungen erfüllen?? also alle aus Fm?
identische sind Fm und Ea nicht, dass is klar!
aber kannst du mir nicht die ergebnisse aus dem vorigen beitrag interpretieren?
meine ebene E*: y + z = -2
wird von Fm nicht miteinbezogen, erfüllt aber die selben bedingungen. heisst das, dass es noch MEHR ebenen gibt??
vielen dank!
mfg
kipping
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 12:26: |
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ich nehme alles zurück!
hab einen entscheidenden fehler gemacht und euch die falsche gerade h genannt *andenkopffass*
deswegen enthält meine ebene E* die gerade h nicht vollständig :-/
aber der rechenweg von megamath scheint wohl doch allgemeiner zu sein... DANKE!!
ich werde sie nochmal allgemein rechnen...
danke nochmal!!
mfg
kipping |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 13:10: |
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ich noch mal!
h lautet:
h: x= (3/0/-2) + r*(-6/-4/4)
wenn ich aus
x = -6r + 3
y = -4r
z = +4r - 2
den parameter r eliminiere, komm ich auf die beiden ebenen:
E1: 4x - 6y - 12 = 0
und
E2: y + z + 2 = 0
jetzt stellt sich für mich die frage, ob das ein zufall ist, dass meine vorher genannnte E* mit E2 identisch ist?!
wenn ich jetzt in
Em: y + z + 2 + m(4x - 6y - 12) = 0
m = 0 setzte, hätte ich wieder E*
ist das zufall??
vielen dank nochmal!!
mfg
kipping
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1922
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 16:42: |
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Hi Steve,
ich löse Deine Aufgabe jetzt mit den neuen Daten für die Gerade h,
wenigstens ansatzweise.
Die Situation ist nun ganz anders !.
Es wird sich zeigen, dass die gegebene einparametrige Ebenenschar
(Parameter a) ein Ebenenbüschel mit h als Büschelachse ist.
Wir stellen h als Schnittgerade zweier projizierender Ebenen dar.
Die erste Ebene P1 steht senkecht zur (y,z)-Ebene,
die Gleichung lautet, wie Du leicht bestätigst:
P1:= y + z + 2 = 0
Die zweite Ebene P2 steht senkrecht zur (x,y)-Ebene,
die Gleichung lautet, wie Du leicht bestätigst:
P2:= 2 x – 3 y – 6 = 0
Wir bauen nun mit mm (megamath) als Parameter nach bewährtem
Muster die Gleichung des Ebenenbüschels mit h als Achse auf:
Resultat:
mm * ( y + z + 2 ) + (2 x – 3 y – 6) = 0, geordnet:
2 x + (mm – 3 ) y + mm * z = 6 – 2 *mm
Ersetze darin mm durch a und Du hast die Ebenenschar,
die am Anfang dieser endlosen Geschichte stand.
Die Gleichung des Ebenenbüschels gibt die Ebene P1 selbst nicht.
Sie wird im Grenzfall für a strebt gegen unendlich erreicht,
wie eine kleine Rechnung zeigt.
Die Gerade h liegt in P1, hingegen gehört P1 für kein endliches a zur
ursprünglich gegebenen Schar
Zufall war es nicht, sondern Absicht des Aufgabenstellers !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 17:03: |
|
noch mal langsam!
ich versteh das nich:
wenn ich jetzt mm durch a ersetzt, dann hab ich ein büschel, das mit Ea identisch ist und das sollte doch gerade NICHT der fall sein!!
mir ist aber auch gerade aufgefallen, dass die gerade h vollkommen in Ea liegt, also kann es kein neues büschel sein, welches diese geforderte bedingung erfüllt, sondern NUR
P1.
wie komme ich aber von Ea auf P1?
könntest du diese kleine rechnung kurz näher erläutern, in der a gegen unendlich strebt?!
dein vorletzter satz ist doch aber die lösung. es war doch eine ebene gesucht, die h enthält, aber für kein a zur schar Ea gehört!
danke nochma!
mfg
kipping |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1923
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 19:18: |
|
Hi Steve
Das Problem ist gelöst, und ich muss von mir aus gesehen,
zu einem Abschluss dieser Angelegenheit kommen.
Der folgende Hinweis muss daher genügen:
Wir schreiben nochmals die Gleichung des Büschels mit
der Geraden h als Büschelachse an:
mm * ( y + z + 2 ) + (2 x – 3 y – 6) = 0…*)
*********************************
mm ist der Parameter und stellt eine beliebige
reelle Zahl dar.
Für mm = 0 erhalten wir die eine Grundebene des Büschels,
die wir im letzten Abschnitt mit P2 bezeichnet hatte.
Nun dividieren wir beide Seiten der unterstrichenen Gleichung *)
mit mm ungleich null; es entsteht
y + z + 2 + (1 / mm )* (2 x – 3 y – 6) = 0
Wenn nun mm gegen unendlich strebt, geht 1 / mm gegen null;
es bleibt
y + z + 2 = 0.
Im Grenzfall erhalten wir die Gleichung der Ebene P1,
der andern Grundebene des Büschels.
Warum stellt nun die unterstrichene Gleichung eine beliebige Ebene
des Büschels dar (stillschweigend sei P1 ausgenommen) ?
Zum Einen
ist die Gleichung in x , y , z liner und daher stellt *)
eine Ebenengleichung dar..
Zum Andern:
Alle Punkte der Geraden h liegen auf der ersten Grundebene, daher gilt P1 = 0
Alle Punkte der Geraden h liegen auf der zweiten Grundebene, daher gilt P2 = 0
Somit gilt *) für jeden Wert des Parameters mm, d.h. alle Punkte von h liegen
auch auf der Ebene Emm, somit haben wir in Emm mit der Gleichung *)
eine Büschelebene vor uns.
Voià , c´ est tout !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser, megamath
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 20:27: |
|
danke für die "kleine" rechnung. leuchtet mir jetzt auch ein.
aber ich glaube, wir reden irgendwie aneinander vorbei!
mir ist klar, dass die gerade h vollständig in Ea enthalten ist.
nun hast du aber aus der geraden h WIEDER ein büschel mit h als trägergerade gebastelt, was allerdings exakt der Ebene Ea entspricht.
die aufgabe war aber:
gesucht ist eine ebene E*, die die gerade h enhält, aber NICHT zur schar Ea gehört.
dann kann man meines wissens nicht wieder ein büschel, schon gar nicht den selben büschel als lösung annehmen, oder versteh ich das falsch?
naja, lassen wir das, ich will jetzt auch niemand weiter mit dieser aufgabe belästigen oder gar verärgern!!
mfg
kipping |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 250
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 21:20: |
|
Hi Steve,
megamath hat doch gezeigt, das das Ebenenbüschel mit Büchelache h genau deiner Schar entspricht.
Weiter hat Megamath gezeigt das die Ebene P1 nicht zum Büschel gehört also auch nicht zur Schar Ea gehört. Damit ist P1 deine gesuchte Ebene E*, die zwar h enthällt, aber wie gesagt nicht zum Büschel und damit nicht zu deiner Schar gehört.
Gruß N. |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 09:16: |
|
hallo nils!
gut, das ist mir jetzt klar!!
aber jetzt frag ich mich, ob meine methode aus meinem ersten beitrag, der auf die gleiche lösung führt, immer funktioniert?!
also einfach den paramter ausklammern...
mfg
kipping |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 251
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 10:09: |
|
Hi Steve,
deine erste Methode unterscheidet sich von Megamath kaum. du machst im Grunde genau das gleich wie Megamath.
Du bekommst durch die Parameterelimination
E1: 4x-6y-12=0 Diese Gleichung durch 2 dividiert ergibt
E1: 2x-3y-6=0 entspricht also P2.
Und deine Ebene E2 stimmt mit P1 überein.
Du stellst das Büschel
B=E2+m*E1=0
B=(y+z+2)+m*(2x-3y-6)=0
auf
Megamath dagegen das Büschel
B'=E1+m*E2=0
B'=2x-3y-6)+m*(y+z+2)=0
Diese Tatsache der Vertauschung in der Reihenfolge der Ebenen erklärt warum du
E2=P1=E* für m=0 und Megamath das gleiche Ergebnis für m=unendlich erhält.
hast du sonst noch Fragen?
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1924
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 12:16: |
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Hi Niels,
Vielen Dank für Deine Unterstützung und Beihilfe.Du hast Einiges zur Klärung der Angelegemheit beigetragen !
Allgemein ist zu sagen, dass das Thema
"Ebenenbüschel" und parallel dazu auch die Themen "Kreis- und Kugelbüschel" in der Schulmathematik in Deutschen Landen markant vernachlässigt werden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 17:33: |
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nein, keine weiteren fragen :-)
ich danke euch beiden recht herzlich!!
allerdings muss ich sagen, dass ebenebüschel in der schule nicht unbedingt zu kurz kommen, aber es schon schade ist, dass kreise und kugeln sogar im leistungskurs nicht einmal angeschnitten werden :-/
danke euch noch mal!!
mfg
kipping |
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