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mira (mira13)
Neues Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 14:15: | 
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Hallo!
Ich habe hier noch ein Beispiel,
wo ich mich nicht ganz durchsehe;
vielleicht kann mir dabei jemand unter die Arme greifen:
Von einer Ellipse in Scheitellage y^2 = 2 p x - (1 – eps^2) x ^ 2
kennt man den Brennpunkt F1(3/0) und die numerische Exzentrizität
eps = 1 / wurzel(2)..
Bestimme den Parameter p, die Halbachsen a und b und die Gleichung
der zu F1 gehörenden Leitgeraden d1, sowie den andern Brennpunkt F2.
Ich bedanke mich im Voraus
mira |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1920
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 18:25: |
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Hi Mira,
Lösung Deiner nicht alltäglichen, aber interessanten Aufgabe
Zuerst berechnen wir den Parameter p.
In der Scheitelgleichung
y ^ 2 = 2 p * x – ½ * x ^ 2
setzen wir x = 3 ein, die Abszisse des Brennpunktes;
es kommt für y der Parameter p heraus, also
p^2 = 6 p – 9 /2.
Wir finden p aus der quadratischen Gleichung 2 p^2 – 12 p + 9 = 0:
p = 3 + 3 / 2 * wurzel(2).
Berechnung der großen Halbachse a.
Wir schneiden den KS mit der x-Achse und setzen somit y = 0:
0 = x * ( 2p - ½ x), daraus x = 0 für den Hauptscheitel A in O
und x = 4 p für den Hauptscheitel B:
Nun gilt aber für den letzten x-Wert:
x = 2 a, daraus folgt:
a = 2 p = 6 + 3 * wurzel(2)
*********************
M sei der Mittelpunkt der Ellipse; dann gilt für die lineare Exzentrizität e:
e = A M - O F1 = OM – OF1 = a – 3 ;
somit:
e = 3 + 3 * wurzel(2)
*****************
Wir kontrollieren: es muss gelten
eps = e / a.; alles o.k. !
Sei u der x-Wert des zweiten Brennpunktes; dann ist
u = a +e = 9 + 6* wurzel(2)
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Leitgerade d1:
O ist ein Punkt der Ellipse; sei r der Abstand dieses Punktes von der
Leitgeraden; es muss wegen der Leitgeradeneigenschaft der Ellipse gelten
O F1 / r = eps, also r = 3 / eps = 3 * wurzel (2);
die Gleichung der Leitgeraden d1, die im Abstand r parallel zur y Achse
verläuft und die Ellipse nicht schneidet, lautet somit:
x = - r = - 3 * wurzel(2)
Berechnung der kleinen Halbachse b:
Für Ellipsen gilt: b ^ 2 = a ^ 2 – e ^ 2, somit:
b ^ 2 = [6 + 3 * wurzel(2)]^2 - [3 + 3 * wurzel(2)]^2 =
9*[3+2*wurzel(2)], mithin
b = 3 [1 + wurzel(2)]
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Anmerkung;.
die zweite Lösung für p, nämlich p = 3 – 3/2* wurzel (2)
führt zu Widersprüchen, z.B. wird a negativ, was nicht sein kann.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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mira (mira13)
Neues Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 18:31: |
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hi megamath,
ich sage vorerst einmal herzlichen Dank für Deine ausführlichen Antworten da und dort,
nun habe ich eine abendfüllende Beschäftigung!*
Liebe Grüße von mira |
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