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mira (mira13)
Neues Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Januar, 2003 - 15:11: | 
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Hallo an alle,
ich wünsche ein gutes Neues Jahr!
Meine Frage:
Warum gilt für den Parameter p eines Mittelpunktkegelschnitts (Ellipse und Hyperbel)
p = b^2 / a ?
Ich danke für Eure Hilfe,
mira
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1916
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Januar, 2003 - 17:29: |
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Hi Mira,
Ich habe zwei Methoden präsent, mit denen ich
Dein Rätsel lösen kann!
1.Methode
Wir gehen aus von der Scheitelgleichung für
alle Kegelschnitte:
y ^ 2 = 2 p x – f * x^2 mit f = 1 – (epsilon)^2
Für x = 2 a gilt y = 0, also
0 = 4 p a – f * 4 a^2; ein Faktor a (nicht null) hebt sich weg;
wir erhalten:
a = p / f……………………………………………………………………(1)
Für x = a ist y = b, also
b ^ 2 = 2 p a – f * a^2,
wir ersetzen darin a durch p / f und erhalten:
b^2 = p / f *[2 p – p] = p^2 / f,
also
b^2 = p^2 / f ……………………………………………………………..(2)
Nun dividieren wir die Gleichung (2) durch die Gleichung (1);
dabei fällt f weg und die Relation p = b^2 / a ist nachgewiesen.
2.Methode
Beachte: Fällt die Hauptachse eines Kegelschnitts, welche
die Brennpunkte enthält, mit der x-Achse zusammen, so stimmt
der Parameter p mit dem y-Wert desjenigen Punktes auf dem
Kegelschnitt überein, der denselben x-Wert wie der Brennpunkt
hat.
Wir gehen aus von den Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte.
Die beiden Fälle Ellipse und Hyperbel müssen getrennt
behandelt werden.
1.Fall: die Ellipse
Gleichung
b^2 *x ^2 + a ^2 * y ^2 = a ^2 * b^ 2
Setze x = e (lineare Exzentrizität; x-Wert eines Brennpunktes);
der zugehörige y-Wert ist p, also:
b^2 * e ^2 + a ^2 * p ^2 = a ^2 * b^ 2 ; nun gilt bei der Ellipse
e^2 = a^2 – b^2; setzt man dies ein, so erhält man sofort:
p^2 = b^4 / a^2, also p = b^2 / a
.
2.Fall: die Hyperbel
Gleichung
b^2 *x ^2 - a ^2 * y ^2 = a ^2 * b^ 2
Setze x = e (lineare Exzentrizität; x-Wert eines Brennpunktes);
der zugehörige y-Wert ist p, also:
b^2 * e ^2 - a ^2 * p ^2 = a ^2 * b^ 2 ; nun gilt bei der Hyperbel
e^2 = a^2 + b^2; setzt man dies ein, so erhält man sofort:
p^2 = b^4 / a^2, also p = b^2 / a.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1917
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Januar, 2003 - 12:58: |
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Hi Mira,
Bei der Beantwortung Deine Frage habe ich Dir eine geometrische
Deutung des Parameters eines Kegelschnitts gegeben als Quermass
gewissermassen, als halbe Breite des Kegelschnitts beim Brennpunkt.
Es gibt noch eine andere, reizvolle Einkleidung für p,
die ich Dir nicht vorenthalten möchte.
:
Der Parameter p aller Kegelschnitte (die Parabel inbegriffen) erscheint
als Radius des Krümmungskreises in einem Hauptscheitel des
Kegelschnitts.
Wenn es Dich interessiert, leite ich Dir diese Aussage
in wenigen Zeilen her.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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mira (mira13)
Neues Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Januar, 2003 - 14:20: |
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hallo, megamath,
ja, das würde mich interessieren!
und dankeschön für Deine ausführliche Antwort!
liebe Grüße
mira |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1918
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Januar, 2003 - 15:02: |
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Hi Mira,
Wir schneiden den allgemeinen Kegelschnitt (KS)
y^2 = 2 p x – q x^2
[Scheitelgleichung aller Kegelschnitte, q = 1 – (epsilon)^2 ]
mit dem Kreis y ^2 = r^2 – (x - r) ^ 2
Beide Kurven berühren sich im Nullpunkt O,
der zugleich Scheitel des KS ist.
Dies bedeutet bereits, dass zwei Schnittpunkte der Kurven
in O vereinigt sind.
Für eine besonders innige Berührung (Oskulation),wie sie
beim Scheitelkrümmungskreis vorliegt, fordern wir,
dass alle vier Schnittpunkte der beiden Kurven in O vereinigt
sind.
Rechnerische Durchführung:
Gleichsetzen der y^2-Werte: 2 p x – q x^2 = r^2 – (x - r) ^ 2
Faktorzerlegung beider Seiten: x* (2 p – q x ) = x* ( 2 r – x )
Wegheben eines Faktors x: 2 p – q x = 2 r – x
Was ist x ? es ist der x-Wert der Schnittpunkte Nr.3 und Nr. 4.
Alle Punkte in O vereinigen, heisst , diesen x-Wert null setzen;
r wird dann zum Krümmungsradius im Hauptscheitel O des KS.
Tun wir es; es kommt:
2 p = 2 r , also:
r = p , wie ich vorausgesagt habe !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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mira (mira13)
Neues Mitglied
Benutzername: mira13
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 12:13: |
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hallo, megamath!
Darf ich Dir dazu zwei Fragen stellen:
Warum gibt es 4 Schnittpunkte
und
warum darf ich x wegheben, wenn es doch null ist?
Oder verstehe ich da etwas nicht richtin!?!
Liebe Grüße von mira
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1919
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 15:41: |
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Hi Mira,
Da Kegelschnitte durch Gleichungen zweiten Grades
in den Variablen x und y dargestellt werden können,
kannst Du leicht einsehen, dass zwei solche Kurven sich im
allgemeinen in 4 Punkten schneiden, wenn Du an den
algebraischen Vollzug der Ermittlung der Schnittpunkte denkst.
Diese Schnittpunkte brauchen allerdings nicht reell zu sein.
Mache die Probe auf ´s Exempel und skizziere in globo eine
Parabel und einen Kreis und zwar so, dass vier Punkte als
Schnittpunkte erscheinen. Das gelingt Dir sicher !
Sonst frage Deinen Namensvetter Mirò, den berühmten
katalanischen Maler, der ganz ähnliche Skizzen gemacht hat.
(die Punkte sind farbig!).
Skizziere nun einen Kreis, der Deine Parabel im Scheitel berührt
und sie nochmals trifft in zwei zur Parabelachse symmetrischen Punkten.
Genau das habe ich in meiner kleinen Rechnung realisiert.
Bei Deiner zweiten Frage ist die Reihenfolge der Ueberlegungen
relevant: l´un après l´autre.
Wiederholung der Rechnung; alles Terme werde links versammelt:
(Gleichsetzen der y^2-Werte)
2 p x – q x^2 – x (2r – x) = 0
Faktorzerlegung links: x* [ 2 p – q x - 2r + x] = 0
1.Fall: x = 0 führt auf den Nullpunkt.
2.Fall: x ungleich null: weg mit dem Faktor x
es bleibt die eckige Klammer, welche null gesetzt wird usw.
Durch den (geschickten) Ansatz der Kreisgleichung erreichen
wir also, dass der Kreis die y-Achse im Nullpunkt berührt.
Dies zeigt sich im Faktor x im genannten Produkt: wir setzen ihn null
um den Nullpunkt zu erhalten
Der andere Faktor , null gesetzt, gibt uns im x-Wert
[ x = (2r – 2p) / (1-q) ] die beiden restlichen Schnittpunkte Nr.3 und Nr. 4,
die im Schlussgang ebenfalls nach O geworfen werden, indem r = p
gewählt wird
Zu Deinen Diensten mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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