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Alexander (alex8417)
Neues Mitglied
Benutzername: alex8417
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Dezember, 2002 - 16:43: | 
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Ich habe über die Ferien eine Funktion zur Kurvendiskussion auf bekommen und würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte, weil ich irgendwo immer Fehler mache und somit nie auf die Zwischenlösungen komme, die uns unserer Lehrer schon gegeben hat. Die Funktion lautet:
}f(x)=x²-1/x²+5
Dabei müssen folgende Punkte durchgearbeitet werden, weil wir eine komplette Untersuchung der Funktion durchführen sollen:
1. Dmax
2. Achsenschnittpunkte
3. Symmetrie
4. senkrechte & waagerechte Asymptoten
5. 1.,2.,3. Ableitung
6. Extrempunkte
7. Wendepunkte
Zusatz: Jede Parallele zur x-Achse (also jede Funktion h(x)=k für 0<k<1) schneidet den Grafen von f in zwei Punkten. Für welchen Wert von k beträgt der Abstand dieser beiden Punkte voneinander 6LE???
Vielen lieben Dank im Voraus
Alex |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Dezember, 2002 - 21:05: |
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Bitte, schreib nicht einfach ab, rechne nach;
ich könnte bei dem Riesending Rechenfehler gemacht haben;
der Weg ist aber hoffentlich klar
f(x) = x² - 1/(x²+5) Def.Ber -oo bis +oo
f'(x) = 2x + 2x/(x²+5)²
f"(x)= 2 + 2[1*(x²+5)²-x*2(x²+5)2x] / (x²+5)4
f"(x)= 2 + 2(-4x²+5)/(x²+5)³
f'''(x) = 2[-8x(x²+5)³-(-4x²+5)3(x²+5)²2x] / (x²+5)6
f'''(x) = 2x[-8(x²+5)-6(-4x²+5)] / (x²+5)4
f'''(x) = -4x(35-8x²) / (x²+5)4
Schnitt mit y-Achse: x=0, y = -1/5
Schnitt mit x-Achse:
y = 0 = x² - 1/(x²+5); x² = u
u(u+5) - 1 = 0; u²+5u+1 = 0
u = (±Wurzel(29)-5)/2;
da
bei -Wurzel(29) u < 0 wäre, sind die Schnitte mit der x-Achse
nur
bei x = ±Wurzel( (+Wurzel(29)-5)/2 )
f(x) ist wegen x² = (-x)², also f(x) = f(-x)
SYMETRISCH
zur y-Achse,
f(x) hat keine Asymptoten das 1/(x²+5) kein Polstelle hat
(wo eine Senkrechte Asymptote wäre),
und der lim|x|->oof'(x)=oo keine ander Asymptote.
MAN
kann natürlich sagen, f(x) nähert sich asymptotisch x².
Wendepunkte:
f" = 0 = 2 + 2(-4x²+5)/(x²+5)³,
x² = u
erfordert Lösung der Kubischen Gleichung
u³+15u²-71u+120 = 0
von der man z.B. graphisch ( Funktionsplotter )
sehen kann, daß sie nur eine relle 0-Stelle, u circa -19,056... hat,
somit
gibt es KEINEN reellen WENDEPUNKT x² = u
Zusatz
f(x) = x² - 1/(x²+5) = k; x² = u
u(u+5) - 1 - k(u+5) = 0
u² + u(5-k) - (5k+1) = 0
u = ( ±Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) - (5-k) )/2
aber nur
u = ( +Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) - (5-k) )/2 >= 0;
die
Schnittpunkte sind +Wurzel(u),-Wurzel(u),
der
Abstand als 2Wurzel(u) der soll 6 sein
also
Wurzel( u ) = 3
Wurzel( ( +Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) - (5-k) )/2 ) = 3
( +Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) - (5-k) )/2 = 9
+Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) - (5-k) = 18
+Wurzel( (5-k)² + 4(5k+1) ) = 23-k
(5-k)² + 4(5k+1) = (23-k)²
25-10k + 20k+4 = 23²-26k
aber
das kannst Du ja jetzt selbst
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Alexander (alex8417)
Neues Mitglied
Benutzername: alex8417
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Dezember, 2002 - 17:23: |
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Danke erstmal und natürlich rechne ich das alles nochmal selbst! Es soll mir ja nur zur Hilfe und Kontrolle dienen. Aber irgendwie scheinen einige Sachen nicht zu stimmen, da sie von den Kontrolllösungen abweichen, die ich habe. Am wichtigsten sind mir nämlich die Ableitungen und die können nicht richtig sein, da die 3.Ableitung wie folgt lauten muss:
f(x)= (144x³-720x)/(x²+5)^4
Vielleicht wurde die Funktion falsch verstanden. Ich geb sie sicherhaltshalber nochmal an:
f(x)= (x²-1)/(x²+5)
Vielleicht gab es Missverständnisse, weil der Zähler nicht in Klammern da stand.
Außerdem soll es zwei Wendepunkte gebenö.
Es wär auf jeden Fall sehr nett, wenn sie sich nochmals mit dieser Diskussion beschäftigen könnten.
Alex |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 798
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Januar, 2003 - 17:27: |
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hab e-mail geschickt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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