| Autor |
Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 18:56: | 
|
Ich habe nur mal eine kleine Frage zum natürlichen Logarithmus. Mit komplexen Zahlen kann man ja aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen, da dachte ich mir, ob man vielleicht auch den Logarithmus zu negativen Zahlen bilden kann. Versucht habe ich das mit der euler-formel:
Wenn man z.B. den natürlichen Logarithmus von -1haben will:
e^(i*pi) =i*sin(pi)+cos(pi) =-1
ln (e^(i*pi))= ln(-1)
i*pi=ln(-1)
Nach diesem Verfahren bekommt man ln(-2)=ln(2)+i*pi
Wenn man nun aber e^(2*i*pi)=1 nimmt und dann den natürlichen Logarithmus erhält man 2*i*pi=ln 1 =0
Wenn ich da jetzt durch 2*pi teile, steht da i = 0, was aber sicher nicht stimmt.
Meine Frage ist jetzt, ob alles falsch ist, oder ob nur ein kleiner Fehler drinnen ist. Bitte mit Erklärung. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 13:38: |
|
Hi Christian,
Ich verweise auf das Kapitel
"Mehrwertige analytische Funktionen einer komplexen
Veränderlichen z " aus der Funktionentheorie.
Dort tritt die Funktion ln z auf :
ln z = ln (abs (z)) + i arg (z)
Der zum Argumentwert 0 < = arg(z) < 2 * Pi
gehörende Wert heisst Hauptwert des Logarithmus.
Man erhält die anderen (unendlich) vielen Werte
durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 2 * Pi * i..
Beachte in diesem Zusammenhang die Periodizität der
Funktion w = e ^ z , Periode p = 2 * Pi * i.
Du bist gewissermassen über die Vieldeutigkeit der
Logarithmusfunktion gestolpert.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 18:02: |
|
Danke für die Antwort, aber ich versteh das irgendwie nicht ganz ;)
Was bedeutet abs und arg?? |
nufan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 18:51: |
|
abs ist der Betrag, in diesem Fall ist abs(z) der Betrag der komplexen Zahl z.
arg ist das Argument, das ist die Zahl, die als Faktor vom i im Exponenten von e steht,
wenn man z in exponentieller Schreibweise schreibt.
z.B. für z=1+iÖ3 kann man auch
z = 2eip/3 schreiben.
Die Umrechnungsformel dazu hast du selbst benutzt.
Das Argument von z ist also p/3 und abs(z)=|z|=2 |
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 20:23: |
|
Danke, ich glaube jetzt hab ich es verstanden  |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 10:54: |
|
Hab doch noch ne Frage.
Ich wollte eben einfach mal die Formel testen und den natürlichen Logarithmus von -3+Wurzel(7)*i bilden.
Als Argumentwert erhalte ich hier ca -0,723. Der liegt jetzt aber nicht zwischen 0 und 2pi. Dann steht da oben man erhält alle anderen durch addition von 2*pi*i. Dann hätte ich als Argumentwert 5,56. Dann habe ich die Aufgabe mal in maple nachrechnen lassen und es kam ein anderes ergebnis raus:
1.386294361+2.418858406*I
Den Anfang hab ich auch noch so, aber wie kommt man jetzt auf den Faktor von I??
Dann hab ich noch ne Frage:
Mit welchem Programm könnt ihr Wurzelzeichen, Integralzeichen etc machen?? |
|
