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Ratloser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 18:10: | 
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Ich habe folgende Trextaufgabe die ich nicht lösen kann:
Der Graph einer Funktion g(x)=ax³+bx²+cx hat bei x=1 einen Hochpunkt, bei x=2 einen Wendepunkt und schließt mit der x-Achse eine Fläche von 9[FE]ein.
Berechnen sie g. |
K.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 19:57: |
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Hallo Ratloser
zuerst die Ableitungen bilden:
f(x)=ax³+bx²+cx
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Hochpunkt bei x=1: f'(1)=0 => 3a+2b+c=0
Wendepunkt bei x=2: f"(2)=0 => 12a+2b=0 => 6a+b=0 => b=-6a
In die Gleichung des Hochpunktes einsetzen:
3a+2(-6a)+c=0
3a-12a+c=0
-9a+c=0
c=9a
Damit folgt für die Ausgangsfunktion:
g(x)=ax³-6ax²+9ax
Nullstellen von g(x) sind:
ax³-6ax²+9ax=0
ax(x²-6x+9)=0
ax(x-3)²=0
=> x=0 oder x=3 sind die Grenzen des Integrals.
Die Stammfunktion lautet
G(x)=(1/4)ax4-2ax³+(9/2)ax²
9=G(3)-G(0)
9=(81/4)a-54a+(81/2)a |*4
36=81a-216a+162a
36=27a |:27
a=4/3
=> b=-6a=-24/3
c=9a=12
g(x)=4/3x³-24/3x²+12x
Mfg K. |
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