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matthes
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 17:49: | 
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einem gleichseitigen dreieck mit der seitenlänge a soll ein rechteck einbeschrieben werden.wie lang müssen die rechteckseiten sein, damit der flächeninhalt des rechtecks maximal wird?
so leute ich bin gerade toootal am lernen für eine klausur,die bald schon da ist und ich würde gerne die lösung mit rechenweg und ausführlicher erklärung haben, da ich ansonsten nicht weiter komme mit meinem lernstoff.ich habe nach langem überlegen herausbekommen, dass ich hier mit der höhe h=a/2 * (wurzel aus 3)
für a, also für die dreiechsseiten hätte ich gerundet a=0,29 mit hilfe des strahlensatzes heraus für den flächeninhalt des dreiecks also gerundet 0,11.
aber leute ich habe echt keine ahnung was mein ziel ist und wie ich an die zielfunktion komme oder gar an die nebenbedingungen,keine ahnung und ich binn mir auch ziemlich sicher, dass diese lösungen falsch sind.
please help
thanks
mfg |
Michael
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 11:07: |
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Mach Dir mal eine Skizze: Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a und zeichne dort ein Rechteck ein mit der Seite b auf der Grundseite des Dreiecks und der senkrechten Seite c. Rechts und links der Seite b liegen die Abschnitte x.
==> a=b+2x ==> b=a-2x
c=x*tan(60°)=x*wurzel(3)
Fläche des Rechtecks:
F(x)=b*c=(a-2x)*x*Wurzel(3)
F(x)=wurzel(3)*(ax-2x²)
Nullstellen der 1. Ableitung ergeben Extrema:
F´(x)=Wurzel(3)*(a-4x)=0
==>x=a/4
In Deiner Skizze siehst Du jetzt, daß damit b=a/2 ist und c=wurzel(3)*a/2
Daraus ergibt sich die Fläche F=wurzel(3)*a²/4!! |
J
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 11:15: |
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Irgendwas ist mir nicht klar: wenn das dreieck gegeben ist, ist doch a konstant. Dann kannst du doch nicht a ausrechnen!
Ein paar anmerkungen helfen dir vielleicht weiter:
1) Zielfunktion ist IMMER die funktion, deren funktionswert die zu maximierende/minimierende größe ist. In deiner aufgabe also
A = x*y (dabei bezeichnet A den flächeninhalt eines rechtecks, x und y die beiden seiten des rechtecks)
Da offensichtlich irgendein rechteck sehr groß wird, wenn x UND y sehr groß werden, wäre eine maximierungsaufgabe ohne nebenbedingung sinnlos. in deinem fall bewirkt die nebenbedingung, dass y kleiner wird wenn x wächst und umgekehrt. ausserdem können weder x noch y beliebig groß werden, da ja das rechteck im inneren eines dreiecks liegt.
Die NEBENBEDINGUNG beschreibt, in welchem maße x kleiner wird, wenn y wächst.
Für deine aufgabe benötigst du zunächst eine skizze:
Zeichne das gleichseitige dreieck!
Zeichne ein rechteck - wie gefordert- ein!
Nenne die rechteckseite, die auf einer dreiecksseite liegt, x, die andere y!
Zeichne dann die höhe des gleichseitigen dreiecks ein und nenne sie h!
Dann gilt nach den strahlensätzen:
a : x = h : (h-y)
Nach x umstellen: x= a- a*y/h
Demnach A= (a- a*y/h)*y
bzw A = a*(y -y²/h)
dabei ist y variable, a und h sind konstanten.
Nach y ableiten:
A' = a*(1-2y/h)
Nullstelle davon ist h/2
Aus der schon oben angegeben gleichung x= a- a*y/h
errechnt man x = a/2
Du siehst, dass die eine seite die halbe dreiecksseite und die andere die halbe höhe ist.
Das gilt nicht nur für gleichseitige sondern allgemein für gleichschenklige dreiecke!
Wenn du für h, wie du selbst angegeben hast, a/2 * wurzel(3) einsetzt, hast du alles, was du brauchst!
Gruß J |
Matthes
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 13:17: |
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ersteinmal danke für eure hilfe,ich folge doch eher der zweiten lösung,zu der ich auch noch einige fragen habe.
ich verstehe den ansatz des strahlensatzes irgendwie nicht,warum die seiten gleich sind.bitte erkläre mir das ,
weiterhin verstehe ich nicht wie du den strahlensatz nach x umgestellt hasz,ich habe es umgestellt und habe was anderes raus
außerdem du hast dieerste ableitung gebildet und nicht damit gemacht und die letzte frage :warum berechnest du die nullstellen?????
du siehst ich habe echt problems
bitte helfe mir
danke J
mfg |
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