| Autor |
Beitrag |
    
Alicja (Alicja)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 19:16: | 
|
Hi Leute!!
Kann diese Aufgabe leider nicht lösen.
Kann sie mir jemand lösen?? Aber bitte mit vollständiger Lösung angeben. Danke, schon im voraus!!!!
Hier ist die Aufgabe:
Für die Funktion f: N -> R gelten die beiden folgenden Bedingungen:
(1) f(1) = 1
(2) f(1) + 2 * f(2) + 3 * f(3) + ... + n * f(n) = n * (n + 1) * f(n)
für n ? N \ {1}
und nun die Fragen ...
a) Berechnen Sie f(2000).
b) Ermitteln Sie einen expliziten Funktionsterm bzw. das entsprechende Bildungsgesetz.
c) Beweisen Sie Ihr Bildungsgesetz mit Hilfe der vollständigen Induktion. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 10:57: |
|
Hi Alicja,
Bei einem spielerischen Umgang mit der Aufgabe
findet man rasch eine Lösung.
( Es liegt übrigens kein Grund vor, eine Aenderung
bei der Aufgabenstellung vorzunehmen ).
Wir erhalten zunächst:
1) mit n = 2:
1 + 2*f(2) = 2*3*f(2), daraus
f(2) = ¼
2) mit n = 3:
1+ ½ +3*f(3) = 3*4*f(3), daraus
f(3) = 1/6
3) mit n = 4:
1 + ½ + ½ + 4*f(4) = 4*5*f(4); daraus
f(4) = 1/8;
u.s.w.
Die Zahlenfolge 1, ¼ , 1/6 , 1/8 ,...legt die Vermutung nahe,
dass für n >1
f (n) = 1 / (2 n) gilt.
°°°°°°°°°°°°°°°
A] Direkter Beweis
Setzen wir f(n) in die linke Seite ein, so erhalten wir dafür:
L = 1 + 2 * 1/4 + 3 * 1/6 + 4 * 1/8 + ..+ n* 1 / ( 2 n ) =
= 1 + (n-1)* ½ = ( n +1 ) / 2
Die rechte Seite R wird zu:
R = n*(n+1) * 1/(2 n ) = ( n + 1 ) / 2
Also gilt L = R , w.z.z.w. (was zu zeigen war)
B] Induktionsbeweis
Dieser Beweis ist nicht sehr schwierig;
die Durchführung sei Deiner Initiative überlassen,
ebenso die Berechnung der Funktionswerte
f(2000) und f(2001).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
