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Beitrag |
    
Daniel (Madmandan)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 15:41: | 
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Hallo Leute!
Ich hab heut im Mathe-LK die Aufgabe bekommen, den Rechenweg herauszufinden, mit dem man von
1²+2²+3²+4²+...+n²
zu
(1/6)*n*(n+1)*(2n+1) kommt.
Beide Terme sind gleich, nur wie kommt man vom ersten zum Zweiten???
MMD |
N.
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 16:55: |
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Hi Daniel,
Wie hättest du die Herleitung gern?
1. Möglichkeit:
Herleitung mit bin. Formeln
2.Möglichkeit:
Herleitung über Polynome (rekursiv)
Ich empfehle die erste.
Gruß N. |
Daniel (Madmandan)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 19:58: |
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Das ist eigentlich egal... ich wär ja für die kürzere bzw. einfacher zu erklärende... |
N.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 09:47: |
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Hallo Daniel,
Also:
Zu berechnen:
sn=S n i=1i²
Ansatz: bin. Formel
(1+1)³=2³=1³+3*1+3*1²+1³
(1+2)³=3³=1³+3*2²+3*2+2³
(1+3)³=4³=1³+3*3+3*3²+3³
...
(1+n)³=1³+3n+3n²+n³
2³+3³+4³..+(n+1)³=n+3[1+2+3...+n]+3[1²+2²+3²+..n²]+1³+2³+3³+..n³
(n+1)³=n+3*Sn i=1i+3Sn i=1i²+1³
3*Sn i=1i²=3*sn=(n+1)³-1³-n-3*[n*(n+1)/2]
3*sn=(2*(n+1)³-2-2n-3*n*(n+1))/2
3*sn=(2n³+6n²+6n+2-2-2n-3n²-3n)/2
3*sn=(2n³+3n²+n)/2
3*sn=(n*[2n²+3n+1])/2
3*sn=(n*[2n²+2n+n+1])/2
3*sn=(n*[1*(2n+1)+n*(2n+1)])/2
3*sn=(n*(n+1)*(2n+1))/2
sn=n*(n+1)*(2n+1)/6
q.e.d
Gruß N. |
Daniel (Madmandan)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 13:01: |
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So erkläre mir, N. warum du mit der dritten Potenz der zahlen beginnst, wo ich doch die Summe der zweiten Potenzen haben wollte.... |
N.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 16:46: |
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Hallo Daniel,
ganz einfach:
Sonst funktioniert der Ansatz nicht.
Wenn ich es mit Polynomen den Ansatz genommen hätte hätte ich auch ein Polynom 3. Grades nehmen müssen.
Ich kann dir nicht genau erklären warum das so ist-es ist aber korrekt.
Algemein kann man um die Summe der ersten n k-ten Potenz zu berechnen ein Polynom (k+1) ten Grades verwenden oder eben bin. Formeln (k+1) Ordnung
heranziehen.
Allerdings ist der Ansatz mit den bin Formeln finde ich einfacher, weil man bei diesem Ansatz auf die Summenformeln davor zurückgreift.
-besitzt du erstmal die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lassen sich schnell alle anderen Herleiten.
Wenn du den Ansatz mit den Polynomen verfolgst kannst du zwar gleich die Formel für die Summe der ersten n k. Potenz berechnen, kaufst dir aber auchg ein homogenes lineares Gleichungssystem mit (k+2) Gleichungen und Variablen ein.
Was möchtest du lieber zumal du viele Summenformeln aus der Formelsammlungen nehmen kannst.
Gruß N. |
Daniel (Madmandan)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 18:25: |
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Sag mal, wie soll ich das denn bitte meinem Mathelehrer erzählen? Ich soll den rechenweg selber finden, also muss ich auf eine Idee kommen... |
N.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 19:01: |
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Hallo Daniel,
versuche es doch mal mit vollgenden Worten:
"Das müssen sie mir halt glauben.."
Oder
"Das kann man nicht beweisen, das ist genial!"
...Das sagt jedenfals mein Mathelehrer sonst immer zu uns...
Nein erlich gesagt,was willst du noch?
Du wolltest einen Rechenweg und ich habe dir ein Rechenweg mit Ansatz gezeigt.
Wenn du einen Beweis in der Maathematik vorführst und dabei den Satz des Pythagoras als Ansatz verwendest, brauchst du auch nicht nochmal den Pythagoras beweisen.
Außerdem habe ich nur die Formel hergeleitet, das sieh tatsächlich korrekt ist müßte per vollständige Induktion noch explezit bewiesen werden.
Gruß N.
ps:
Schau dir diese Datei mal an:
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Daniel (Madmandan)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 19:25: |
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wird schon schiefgehen. danke jedenfalls... |
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summenformel
