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Beitrag |
    
RainerB
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 10:20: | 
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Mein Sohn kam gestern zu mir, mit der Bitte ihm bei folgender
Aufgabe zu helfen. Da ich mich kaum noch an die Regeln der Vektor-
rechnung erinnern kann, (Abi 69) bitte ich euch um Hilfe:
Vom Punkt B(d/0) aus faehrt ein Schiff B mit der Geschwindigkeit
V ab. Schiff A faehrt zum gleichen Zeitpunkt in A(0/0) mit der Ge-
schwindigkeit U ab. U ist groesser V. Beide Schiffe fahren laengs
einer geraden Linie.
Fuer die folgende Betrachtungen wird d=2, V(Vektor)=(4;3) und U=7
angenommen.
Falls das Schiff A einen geeigneten Kurs mit der konstanten Ge-
schwindigkeit U=7 faehrt, so treffen beide Schiffe in einem Punkt P0
zum Zeitpunkt t0 zusammnen.
1. Stelle eine Vektorgleichung auf und bestimme aus ihr den Vektor U
der Geschwindigkeit von Schiff A.
2. Berechne den Zeitpunkt t0 und den Ort P0 des Zusammentreffens.
3. Faehrt das Schiff B unter dem Winkel Alpha zur positiven x-Achse los,
dann hat der Treffpunkt P0 diese Koordinaten:
X: (2*Wurzel[49-25sin2(Alpha)])/(Wurzel[49-25sin2(Alpha)]-5cos(Alpha))
Y: 10sin(Alpha)/(Wurzel[49-25sin2(Alpha)]-5cos(Alpha))
Weise dies nach. Ebenso, dass die Menge dieser Punkte einen Kreis mit
dem Mittelpunkt M(49/12;0) und dem Radius r=35/12 bildet.
Herzlichen Dank an alle, die zur Loesung beitragen!!!! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 21:17: |
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Hallo Rainer,
die ist nicht ganz ohne (oder ich sehe die einfachere Lösung nicht). Mich irritiert die Reihenfolge der Aufgaben, weil ich nach meiner Lösung u vektoriell erst angeben kann, wenn ich t0 berechnet habe.
Ok, trotzdem mein Vorschlag. Vielleicht bringt es auch ja was.
Der Ort des Schiffes B ist xB=(2/0) + t*(4/3). Das ist eine Geradengleichung, bei der t als die Zeit interpretiert werden kann.
Für den Zeitpunkt t0 des Treffens muss xB genau 7*t0 vom Ursprung entfernt sein.
Daraus folgt mit Distanzformel (bzw. Pythagroas), wobei t für t0 geschrieben ist:
Wurzel( (2+4t)^2 + 9t^2 ) = 7*t
Das quadrierst du und erhältst eine quadratische Gleichung für t mit 2 Lösungen. Die eine ist negativ (entspricht Rückwärtsbewegung des Schiffes), die andere die gesuchte.
Damit hast du die Zeit t0 und durch Einsetzen in die Geradengleichung P0. Der Geschwindigkeitsvektor für Schiff A ist der Vektor vom Ursprung zu P0 auf die Länge 7 normiert.
Zu 3. habe ich mir noch nichts überlegt.
Grüße,
Thomas |
RainerB
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 08:38: |
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Thomas,
bin schon mit Hilfe einer 'Profin' etwas weiter vorgedrungen.
Der Ansatz ist:
A+u*t0=B+v*t0, also wenn sie die gleichen Koordinaten haben.
Damit bekommt man 2 Gleichungen:
(I) u1*t0=2+4*t0 (A ist ja (0;0) und B=(2;0) und v=(4;3))
(II) u2*t0= 3*t0
Außerdem hat man noch: |u|=7, d.h. |u|=wurzel(u1^2+u2^2)
Daher weiß man, dass u1=wurzel(49-u2^2)
(II) => u2=3 => u1=wurzel(40)
Also u=(wurzel(40);3)
2. Berechne den Zeitpunkt t0 und den Ort P0 des Zusammentreffens.
(I) => t0=2/(u1-4)=2/(wurzel(40)-4)=0,86 (gerundet)
P0=B+t0*v=(2;0)+0,68*(4;3)=(5,44;2,58)
Winkel alpha => v=5*(cos(alpha);sin(alpha)) (dann hat dieser Vektor immer die Länge 5)
Damit ergeben sich die beiden Gleichungen:
(I) u1*t0-5*cos(alpha)*t0-2=0
(II) u2*t0-5*sin(alpha)*t0 =0
Damit erhält man:
(I) => t0=2/(u1-5*cos(alpha))
(II) => u2=5*sin(alpha) => u1=wurzel(49-25*sin^2(alpha))
LEIDER fehlt mir noch der Ansatz, Kriterium fuer die Beweis-
fuehrung, dass alle Punke P auf einem Kreis liegen (s.o.).
Weitere Hilfe haette ich also noetig!
mfG
Rainer |
Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 12:07: |
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Hallo Rainer,
die Sache mit dem Kreis kann eigentlich nur folgendermaßen gehen:
Zeige dass der Abstand der Punkte von M stets r ist. Konkret also:
Wurzel[ (u-49/12)^2 + v^2 ] = 35/12
Dabei sind u und v die Koordinaten des Punktes P0 in Abhängigkeit von Alpha.
Ob das bei den langen Ausdrücken eine hübsche Rechnung gibt, weiß ich nicht. Aber was eleganteres fällt mir jetzt nicht ein.
Grüße,
Thomas |
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