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Beitrag |
    
E.T. (Hellmann)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 13:32: | 
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Hallo,
Brauche dringend zu folgender Aufgabe eine komplette Kurvendiskussion (also: Ableitungen, Symetrie, Verhalten gegen x gegen +unendlich und x gegen 0, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Schaubild)
Aufgabe: f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1
Diese Aufgabe ist von großer wichtigkeit für mich! schreibe in ein paar Tagen Mathe Klausur:
Danke!! |
ren
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 19:41: |
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Hallo E.T.,
1. Ableitungen:
f' ( x ) = 6 x² - 6 x
f'' ( x ) = 12 x - 6
f''' ( x ) = 12
2. Symmetrie:
f ( x ) = 2 x³ - 3 x² + 1
f ( - x ) = - 2 x³ - 3 x² + 1
- f ( x ) = - 2 x³ + 3 x² - 1
f ( x ) ‡ f ( - x ) ‡ - f ( x ) :
Das Schaubild ist weder zum Nullpunkt noch zur y-Achse symmetrisch.
(Merkregel: Sind alle Exponenten gerade, ist der Graph symmetrisch zur y-Achse; sind alle Exponenten ungerade, ist der Graph symmetrisch zum Nullpunkt; treten sowohl gerade also auch ungerade Exponenten auf ( wie in deinem Beispiel ), ist eine einfache Symmetrie nicht erkennbar ).
3a) Verhalten für |x| ® ¥:
Trick: Schreibe den Funktionsterm in der Form
f ( x ) = x³ ( 2 - 3/x + 1/x³ )
Der Ausdruck in der Klammer geht für |x| ® ¥ ( also für x ® +¥ oder für x ® - ¥ ) gegen 2, also ist
f ( x ) für große |x| - Werte ungefähr 2 x³ und es gilt:
f(x) ® + ¥ für x ® + ¥ und
f(x) ® - ¥ für x ® - ¥
( Merkregel: Das Verhalten ganzrationaler Funktionen für |x| ® ¥ wird maßgebend durch das Glied mit der höchsten x-Potenz bestimmt. )
3b) Verhalten für x ® 0:
f (0 ) = 1 : das Schaubild schneidet die y-Achse im Punkt P (0 / 1 ) und hat dort eine waagrechte Tangente ( weil f' ( 0 ) = 0 ist )
(allgemein: Für f mit f( x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 ist f(0) = a0 und f'(0) = a1, also y = a1x + a0 die Gleichung der Tangente im Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse [in deinem Beispiel ist a1 = 0]. Also:
Merkregel: Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für x ® 0 maßgebend durch die Glieder mit den kleinsten x-Potenzen bestimmt .
4. Nullstellen:
Die Nullstelle x1 = 1 findest du leicht durch Probieren. Polynomdivision:
( 2 x³ - 3 x² + 1 ) : ( x - 1 ) = 2 x² - x - 1
Lösen der Gleichung 2 x² - x - 1 = 0 ergibt
x2 = 1 ; x3 = - 1/2
Die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse sind also ( 0 / - 0,5 ) und ( 0 / 1 ).
5. Extremwerte:
Notwendige Bedingung: f' ( x ) = 0
6 x² - 6 x = x ( 6x - 6 ) = 0 für x1 = 0 und x2 = x = 1
Hinreichende Bedingung: f'(x) = 0 ; f''(x) ‡0
f''(0) = - 6 < 0 : f (0 ) = 1 ist lokales Maximum
f''(1) = 6 > 0 : f ( 1 ) = 0 ist lokales Minimum
Extrempunkte: H (0 / 1) ; T (1 / 0)
6. Wendestellen:
Notwendige Bedingung: f'' (x) = 0
12x - 6 = 0 für x = 1/2
Hinreichende Bedingung: f''(x) = 0 ; f'''(x) ‡ 0
f'''(1/2) = 12 ‡ 0
x = 1/2 ist Wendestelle ; f (1/2) = 1/2
Wendepunkt: W ( 0,5 / 0,5 )
7. Schaubild:
Trage alle bisher gefundenen Ergebnisse in das Koordinatensystem ein und berechne noch ein paar weitere Werte, z.B. f (-1) ; f (1,5) ; f (2). Da du das Verhalten der Funktion für x ® + ¥ und x ® - ¥ sowie die Extrempunkte und den Wendepunkt kennst, dürfte das richtige Verbinden der Punkte kein Problem mehr darstellen.
Gruß und viel Erfolg! |
ren
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 19:57: |
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Korrektur (Tippfehler): Die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse sind natürlich (-0,5 / 0) und (1 / 0). Tschulligung! |
E.T. (Hellmann)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 04:46: |
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Vielen Vielen Dank, jetzt ist mir einiges klarer geworden. mfg hellmann |
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