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Hans
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 12:43: | 
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Hi,
Ich habe hier zwei Aufgaben, bei denen ich mir nicht so sicher bin.
1.
Ein rechtwinkliges Dreieck mit c=6 soll so um die Kathete b gedreht werden, dass es einen Kegel gibt. Das Volumen soll maximiert werden.
Dabei habe ich mir jetzt überlegt, dass b=h ist und a=r, somit würde für h die Formel h=c²-r² gelten.
Das wiederum lässt sich dann in V=1/3r²*pi*h einsetzten, allerdings komme ich dann nicht mehr weiter.
2. Ein Vogelkäfig soll gebaut werden, wobei die Grundfläche das Dreifache der Breite betragen soll. Zunächst wird das Grundmodell aus Rohren aufgebaut, wobei für die 12 Kanten 36m verfügbar sind. Welche Größe muss der Käfig nun haben, damit das Volumen maximal ist?
Hier habe ich nun die Gleichung 3*b*b*h =>maximal für das Volumen aufgestellt. Dann für die Kanten 4*3b+4*b+4*h=36, gekürzt gibt das dann 3b+b+h=9, also h=9-b-3b
Das habe ich dann in die erste Gleichung eingesetzt: 3*b*b*(9-b-3b), aber es gibt ab dann nur noch Blödsinn.
Kann bitte mal jemand nachrechnen und mir dann das Ergebnis posten oder mich korrigieren?
Danke! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 18:10: |
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Hallo Hans
1. h=b und a=r sind die richtigen Ansätze
=> (mit Pythagoras)h²=c²-r² (hast das Quadrat am h vergessen)
=> r²=c²-h² (ist günstiger, da dann keine Wurzel)
Jetzt noch c=6 einsetzen und es gilt
r²=36-h²
Dieses nun in die Formel für das Volumen eines Kegels; also in
V=1/3*pi*r²*h eingesetzt, ergibt
V=1/3*pi*(36-h²)*h=12*pi*h-1/3*pi*h³
V'(h)=12*pi-pi*h²
V"(h)=-2pi*h
V'(h)=0 <=> 12*pi-pi*h²=0 |:pi
12-h²=0
h²=12
h=Ö12=2Ö3
Wegen h=b ist damit b=2Ö3
und wegen a=r und r²=36-h² folgt
a²=36-h²=36-12=24
=> a=Ö24=2Ö6
2. V=3b*b*h=3b²h ist richtig aufgestellt.
Die Nebenbedingung stimmt auch: 3b+b+h=9
=> 4b+h=9 => h=9-4b
In die Volumenformel einsetzen
V=3*b²*(9-4b)=27b²-12b³
V'(b)=54b-36b²
V"(b)=54-72b
V'(b)=0 (Bedingung für Extremum)
=> 54b-36b²=0
<=> 18b(3-2b)=0
=> b=0 oder 3-2b=0 => b=3/2=1,5m
=> h=9-4b=9-4*(3/2)=9-6=3m
a=3b=3*1,5=4,5m
Der Käfig hat damit die Maße 1,5 x 4,5 x 3
mfg Lerny |
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