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Beitrag |
    
b.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 19:46: | 
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Hallo
Ich hab ein kleines Problem, ich weiß leider nicht wie ich bei rekursiv definierten Folgen zeigen kann, dass sie beschränkt und monton sind, und beim Grenzwert berechnen weiß ich erst recht nicht weiter...
Also die Beispiele wären:
a1 = 1
an+1 = wurzel(2 * an)
und dann noch:
a1 = 1
an+1 = wurzel( 1 + an)
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke im Vorraus. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 16:53: |
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Fangen wir mal mit dem leichtesten an : Der Berechnung des Grenzwertes.
Salop gesprochen tut sich im Grenzwert nichts mehr, denn die Folgeglieder weichen ja umso weniger von dem Grenzwert ab, je größer das n wird. Also gilt im Grenzwert die Gleichung
g=Ö(2g)
Das ergibt durch quadrieren und umformen die Bestimmungsgleichung
g²-2g=0 bzw. g=0 oder g=2
Da g gleich 0 aus Monotoniegründen ausscheidet(Beweis folgt) ist g=2 der Grenzwert dieser Folge.
Nutzen wir dieses Wissen nun um die Beschränkheit zu zeigen und behaupten, daß 2 eine obere Schranke der Folge ist.
Sei an<2. Dann gilt auch
an+1=Ö(2an)=(Ö2)(Öan)<2 und wegen a1=1<2 ist somit 2 obere Schranke.
Die Folge ist monton, denn
an+1/an = [Ö(2an)] / an = Ö(2/an) > 1 (Da an<2)
q.e.d.
Die zweite läuft ähnlich :
Grenzwert
g=Ö(1+g) => 0 = g²-(1+g)= g²-g-1 => g=(1/2)±Ö(1/4+1) = (1/2)(1±Ö5)
Beschränktheit+Monotonie
Zeige : g ist obere Schranke und an+1/an>1 |
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