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anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 17:12: | 
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Hallo!
Ich muss die Additionsformel beweisen: (k aus n)+(k+1 aus n)= (k+1 aus n+1)
Abgesehen davon, dass ich die Formel nicht verstehe, kann ich sie auch nicht beweisen! |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 13:08: |
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Hallo anna,
dann will ich mal versuchen, da ein bißchen Ordnung zu schaffen.
(k aus n)+(k+1 aus n)= (k+1 aus n+1) schreibe ich ein wenig anders:
(n über k) + (n über k+1) = (n+1 über k+1)
Dies ist eine Berechnungsvorschrift der Binomialkoeffizienten im Pascal'schen Dreieck. Alle Elemente des Pascal'schen Dreiecks ergeben sich jeweils als die Summe der beiden darüber stehenden Zahlen der vorangegangenen Zeile:
| n=0 | | | | 1 | | | | | n=1 | | | 1 | | 1 | | | | n=2 | | 1 | | 2 | | 1 | | | n=3 | 1 | | 3 | | 3 | | 1 | |
Beispiel für die erste 3: (3 über 1) = (1 über 0) + (2 über 1).
Nun ist (n über k) = n!/k!(n-k)! und
(n über k+1) = n!/(k+1)!(n-k-1)! und folglich ist
(n über k) + (n über k+1) = n!/k!(n-k)! + n!/(k+1)!(n-k-1)! = n!(k+1)/k!(k+1)(n-k)! + n!(n-k)/(n-k-1)!(n-k)(k+1)! = n![(k+1)+(n-k)]/(n-k)!(k+1)! = (n+1)!/(n-k)!(k+1)! = (n+1 über k+1)
Das ist jetzt bestimmt verwirrend. Die roten Faktoren sind die Zahlen mit denen ich die Brüche erweitert habe.
Viele Grüße Toby |
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