| Autor |
Beitrag |
    
Xenia
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 11:26: | 
|
Liebe Leute!
Lieber Reinhard!
Gegeben ist die Achsenaffinität a, die P(2/-1) auf P'(-1/2) abbildet. Ihre Affinitätsachse ist gegeben durch x(ist ein Vektor)=(0/2)(Vektor)+t*(1/2)(vektor).
-Konstruieren Sie das Bild des Punktes Q(2/3)
(das Ist nicht das Problem aber:)
- Bestimmen Sie die Abbildungsgleichung der Form x´(Vektor)=Matrix*x-Vektor+ t-Vektor
Viele Grüße
Xenia |
reinhard
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 17:11: |
|
Hallo Xenia
Habe eine etwas umständige Lösung. Vielleicht habt ihr Sätze, mit denen es etwas einfacher geht, aber auf der Uni wurden affine Abbildung in derart allgemeiner Form nur durch gerade einmal 1 Seite im Skriptum gewürdigt.
Es gibt also eine Affinitätsachse, also eine Gerade, die nur aus Fixpunkten besteht. Eine Formel für alle Fixpunkte:
(x) = (c11 c12)(x) + (d1)
(y) = (c21 c22)(y) + (d2)
also die zwei Gleichungen:
x = xc11 + yc12 + d1
y = xc21 + yc22 + d2
0 = x(c11-1) + yc12 + d1
0 = xc21 + y(c22-1) + d2
Wir wissen, wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, bekommen wir eine Gerade, also unendlich viele Lösungen. Das passiert aber nur, wenn die Koeffizienten bei den x und y linear abhängig sind. Es genügt also vorerst mit der ersten Gleichung weiterzurechnen. Ich nenne diese im folgenden GL1 und die 2. Geleichung GL2.
Die Lösung dieser Gleichung ergibt also die Gerade (x/y)=(0/2)+t(1/2). Mit der Parameterdarstellung läßt sich hier nicht viel anfangen, also wandle in Gleichungsdarstellung um: y = 2x + 2
Bringen wir GL1 auf genau diese Form, denn schließlich ist das ja die Lösung von GL1
-yc12 = x(c11-1) + d1
y = x(1-c11)/c12 - d1/c12
Die Geradengleichung und diese Gleichung sind wiederum auch nur dann ident, wenn ihre Koeffizienten ident sind, also
(1-c11)/c12=2 und
- d1/c12=2
es ergibt sich:
c11=1-2c12
d1=-2c12
Wenn du dasselbe mit GL2 machst, also auch auf die Form y=irgendwas * x + irgendwas bringen und mit der Geradengleichung, die ja eben auch Lösung von GL2 ist, einen Koeffizeintenvergleich machst, dann bekommst du weiters:
c21=2-2c22
d2=2-2c22
Die Affinitätsache ist aber nicht die einzige Angabe, die wir haben, wir wissen auch daß (-1/2) das Bild von (2/-1) ist, also:
(-1) = (c11 c12)( 2) + (d1)
( 2) = (c21 c22)(-1) + (d2)
Und wider zwei Gleichungen:
-1 = 2c11 - c12 + d1
2 = 2c21 - c22 + d2
Setzt du nun die 4 Beziehungen, die wir vorher erst errechnet haben, in diese 2 Gleichungen ein, so erhälst du:
c12=3/7 und c22=4/7. Entsprechend kannst du dir dann auch die anderen c und die zwei d ausrechnen:
(x') = (1/7 3/7)(x) + (-6/7)
(y') = (6/7 4/7)(y) + ( 6/7)
Reinhard |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 21:16: |
|
Hallo Xenia , Hallo reinhard,
Deine Lösung, Reinhard, ist in jeder Hinsicht völlig in Ordnung und für uns Mathematiker die gegebene. Es gibt allerdings eine kürzere, eine im Taschenformat, nach welcher Du gefragt hast.
Diese Lösung nach Gartenzwergenart geht so:
A(-1/0) und B(0/2) sind die Achsenschnittpunkte der Affinitätsachse mit den Koordinatenachsen und daher a fortiori Fixpunkte. Ferner gilt P*(-1/2) ist der Bildpunkt von P(2/-1).
Setzt man nun die Koordinaten in die Abbildungsgleichungen ein (gleiche Bezeichnungen wie bei Reinhad) ,so erhält man sechs Gleichungen mit sechs Unbekannten .:
-1 = - c11 + d1
0 = - c21 + d2
0 = 2* c12 + d1
2 = 2* c22 + d2
-1 = 2* c11 -c12 + d1
2 = 2* c21 -c22 + d2
Das Gleichungssystem lässt sich sehr leicht lösen und liefert die angegebenen Werte.
Mit freundlichen Grüssen und besten Wünschen
H.R. |
Xenia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Februar, 2000 - 14:41: |
|
Lieber Reinhard, Liebe(r) H.R.!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Xenia |
|
