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Steffi (Mausemaus)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 13:12: | 
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Beweise mit Hilfe des Skalarprodukts für ein Dreieck ABC:
a.) Ist Vektor a orthogonal zu Vektor b, so gilt a²+ b²= c² (Satz des Pythagoras)
b.) Ist a² + b²= c², so gilt vektor a ist orthogonal zu vektor b (Kehrsatz)
Wie soll das gehen kann mir jemand helfen?? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 12:18: |
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Hi Steffi,
Im (vorläufig) beliebigen Dreieck ABC seien die drei
Vektoren u,v,w der Reihe nach die Seitenvektoren;
es sei
Vektor AB = u , Betrag c
Vektor BC = v , Betrag a
Vektor CA = w , Betrag b
Die Summe u + v + w stellt offensichtlich den
Nullvektor o dar; es gilt:
u + v + w = o
diese Gleichung multiplizieren wir
der Reihe nach skalar mit u , v und w
Wir erhalten drei Gleichungen; die Summanden auf
den linken Seiten stellen lauter Skalarprodukte dar,
rechts steht jeweils die skalare Null.
Wir erhalten:
u.u + u.v + u.w = 0
v.u + v.v + v.w = 0
w.u + w.v + w.w = 0
Nun gilt bekanntlich:
u.u = c ^ 2, v.v = a ^ 2 , w-w = b ^ 2 ,
denn das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst
ergibt das Quadrat des Betrages dieses Vektors
Setzen wir dies ein, so kommt:
c^2 + u.v + u.w = 0
v.u + a^2 + v.w = 0
w.u + w.v + b^2 = 0
Nun addieren wir die zweite und dritte Gleichung;
von dieser Summe subtrahieren wir die erste Gleichung
Es entsteht:
v.u + a^2 + v.w + w.u + w.v + b^2 - c^2 - u.v - u.w = 0
Einige Terme heben sich weg; es bleibt:
a^2 + b^2 - c^2 + 2 * v.w = 0......................................®
Die Vorbereitungen sind zu Ende
Die beiden Sätze lassen sich unmittelbar beweisen
(I) Voraussetzung: a^2 + b^2 = c^2 ;
Daraus folgt nach ®: v.w = 0 ,:
Die Vektoren v und w stehen aufeinander senkrecht,
das Dreieck ist bei C rechtwinklig
(II) Voraussetzung: rechter Winkel bei C , also v.w = 0
Daraus folgt nach ® sogleich a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 q.e.d.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 12:52: |
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Hi Steffi,
In der Formel ® ist der Kosinussatz verborgen;
wir erhalten eine vektorielle Herleitung dieses Satzes als
willkommene Zugabe.
Das Skalarprodukt v.w ist gleich dem Produkt der
Absolutbeträge der Vektoren v und w und dem Kosinus
des Zwischenwinkels delta der Vektoren v und w
Absolutbetrag v = a
Absolutbetrag w = b
delta = 180° - gamma, wobei gamma den Innenwinkel
des Dreiecks bei der Ecke C darstellt
Somit nach ® :
c ^ 2 = a^2 + b ^ 2 + 2 * a* b* cos(delta) , somit Kosinussatz:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2* a * b * cos (gamma)
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da die Kosinuswerte der beiden Supplementärwinkel
entgegengesetzt gleich sind.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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