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Jan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 20:07: | 
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Hallo,
ich bräuchte die Lösung zu den 2 Aufgaben als Musterlösung für eine bevorstehende Arbeit.
Aufgabe 1)
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei 2 eine Wendestelle; ihr Graph berührt in (0;0) die x-Achse und schließt mit der x-Achse den Flächeninhalt 13,5 ein. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
Aufgabe 2)
Durch den Hochpunkt des Graphen der Funktion
f:x->(1/3)x^3-3x^2+6x; x Element[0;3] wird eine Parallele zur y-Achse gezogen, die die Fläche, welche der Graph von f mit der x-Achse einschließt, in zwei Teilflächen zerlegt. In welchem Verhältnis stehen die beiden Flächeninhalte zueinander?
Jan |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 17:17: |
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Hallo Jan
1) f(x)=ax³+2x²+cx+d allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Wendestelle bei x=2: f"(2)=0 => 12a+2b=0
(0/0) Punkt des Graphen: f(0)=0 => d=0
berührt x-Achse in (0/0) bedeutet hat dort eine waagerechte Tangente; also f'(0)=0 => c=0
Mit c=d=0 folgt f(x)=ax³+bx²
und mit 12a+2b=0 <=> 6a+b=0 <=> b=-6a folgt weiter
f(x)=ax³-6ax²
Die Nullstellen dieser Funktion sind
ax³-6ax²=0 <=> ax²(x-6)=0 => x=0 und x=6
Für die Fläche gilt dann
13,5=ò0 6(ax³-6ax²)dx
13,5=|ax4/4 -2ax³|06
13,5=|324a-432a|
13,5=|108a|
13,5=108|a|
|a|=1/8
=> a=1/8 oder a=-1/8
=> b=3/4 oder b=-3/4
Somit gibt es 2 Funktionen die obige Bedingungen erfüllen; nämlich
f(x)=(1/8)x³-(3/4)x² bzw.
f(x)=(-1/8)x³+(3/4)x²
2)f(x)=(1/3)x³-3x²+6x
f'(x)=x²-6x+6
f"(x)=2x-6
Extrema: f'(x)=0 <=> x²-6x+6=0 <=> x=3+-Ö3
Wegen x€[0;3] folgt x=3-Ö3
Nullstellen berechnen:
f(x)=0 <=> (1/3)x³-3x²+6x=0 <=> x³-9x²+18x=0
<=> x(x²-9x+18)=0 => x=0 ; x=3; x=6
A1=ò0 3-Ö3[(1/3)x³-3x²+6x]dx
=|(x4/12)-x³+3x²|03-Ö3=3
A2=ò3-Ö3 3[(1/3)x³-3x²+6x]dx=3,75
Verhältnis
A1 : A2 = 3 : 3,75 = 4 : 5
mfg Lerny |
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