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Uhu (Uhu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 16:37: | 
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Es ging um nachfolgende Aufgabe,
Aufgabe: Gegeben sind die 3 Punkte x^j ER^3, j=1,2,3
x^1=(1,2,3)^T, x^2=(2,1,5)^T, x^3=(1,2,5)^T
In welcher Hyperebene sind alle 3 Punkte enthalten?
Die Lösung ist entweder:
H= xER^3 2xtief1+2xtief2-xtief3=1
H= xER^3 4xtief1+4xtief2-2xtief3=2
oder welches andere Ergebnis?
Bitte, ich verstehe nicht, wie ich hier überhaupt vorgehen soll, bin, so blöd es klingt, 20 Jahre aus dem Stoff raus.
vielen dank für eure hoffentlich baldige hilfe, es eilt doch ziemlich.
grüsse
der "weise" (wenn wir von mathe absehen) uhu |
Jana
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 15:54: |
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Hallo Uhu,
Siehe
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/21079.html?1003492565 |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 16:42: |
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hallo uhu,
x^1=(1,2,3)^T, x^2=(2,1,5)^T, x^3=(1,2,5)^T
du wirst verzeichen, dass ich die notation etwas vereinfache, indem ich die Transpositionen weglasse und die punkte einfach mit x1, x2, x3 bezeichne.
gesucht ist also die ebene, die die punkte
x1 = (1,2,3)
x2 = (2,1,5)
x3 = (1,2,5)
enthaelt.
deine beiden loesungsvorschlaege gehen auseinander durch multiplikation mit 2 hervor. sagen also dasselbe aus. in wirklichkeit ist es nur eine loesung! aber die ist falsch: die beiden punkte x1 und x3 unterscheiden sich nur in der z-komponente. d.h. die gesuchte ebene steht senkrecht auf der x-y-ebene. wir erwarten also in wahrheit eine geradengleichung in der x-y-ebene, und der parameter z ist ein freier parameter, der jeden beliebigen wert annehmen kann. s.u.
da die ebene insbesondere den punkt x3 enthält, koennen wir erst mal als parametergleichung ansetzen:
H = {p element R^3| p = (1,2,5) + ??}
was kommt noch dazu? eine ebene ist zweiparametrig. wir brauchen also zwei unabhaengige variable, die wir z.b. mit y1,y2 bezeichnen koennen.
fuer y1=1 und y2=0 soll x1 rauskommen.
wenn wir y1 als koeffizienten vor dem vektor (x1 - x3) verwenden, dann klappt das.
also:
p = (1,2,5) + y1*(0,0,-2) + ??
das ist jetzt erst mal eine gerade, die x1 und x3 enthaelt.
durch noch eine solche rechnung finden wir schliesslich:
H = {p element R^3| p = (1,2,5) + y1*(0,0,-2) + y2*(1,-1,0)}.
als uebliche zweiparametrige darstellung der ebene.
die beiden (richtungs-)vektoren (0,0,-2) und (1,-1,0) liegen in der ebene. wenn wir von diesen beiden vektoren das kreuzprodukt bilden (was du hoffentlich erinnerst), erhalten wir einen vektor, der senkrecht auf der ebene steht, den sogenannten normalenvektor der ebene:
(0,0,2)X(1,-1,0) = (2,2,0)
alle punkte der ebene haben mit dem normalenvektor ein konstantes skalarprodukt (da die differenzvektoren von je zwei ebenenpunkten senkrecht auf dem normalenvektor stehen, und deshalb nicht zum skalarprodukt beitragen).
wir nehmen also einen beliebigen punkt der ebene, z.b. x3=(1,2,5), und bilden das skalarprodukt von ihm mit (2,2,0):
(1,2,5).(2,2,0) = 2 + 4 = 6.
damit ist auch der letzte parameter gefunden.
die ebenengleichung lautet nun schliesslich:
H = {p=(p1,p2,p3) element R^3| 2*p1 + 2*p2 = 6}
oder einfacher
p1 + p2 = 3.
wenn ich mich nicht vor lauter erklaeren verrechnet haben sollte, dann war es das.
du musst ein bisschen aufpassen:
x1,x2,x3 sind jeweils vektoren.
y1,y2 sind voneinander unabhaengige variable.
p1,p2,p3 sind die komponenten des einen vektors p.
... und bitte nicht wieder 20 jahre ohne mathematik vergehen lassen.
viele gruesse mrsmith. |
Uhu (Uhu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 17:35: |
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vielen dank mrsmith,
hoffe, ich verstehe es nun endlich.
in 20 jahren wäre ich wahrscheinlich älter als methusalem, wollen wir mal hoffen, ich kapiere es vorher.
viele grüsse |
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