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Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 13:20: | 
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Huhu!
Vorab: ich mach das nur hobbymaessig! Hat also nix mit Schule oda so zu tun.
Mit handelsueblichen Taschenrechnern kann man ja nur Fakultaeten von ganzen, positiven Zahlen berechnen. Nun gibt es ja die Annaeherungsformel n^n*e^-n*Sqr(2pi*n)*((24n+1)/(24n-1)) fuer Fakultaeten, womit man nun allerdings anscheinend auch Fakultaeten von rationalen UND irrationalen berechnen koennte, ob es nun richtig ist oder nicht.
So, jetzt die Frage: gibt es einen allgemein bewiesenen oder anerkannten Weg, Fakultaeten von allen Zahlen zu berechnen? Oder zumindest von allen positiven?
Und, wenn nicht:
Angenommen, man zeichnet die verschiedenen Fakultaeten von Zahlen in ein Koordinatensystem: welche Verbindung der Punkte waere dann korrekt? Muesste man eine Kurve machen oder die Punkte jeweils mit geraden Linien verbinden? Oder kann man da vielleicht GAR keine Verbindung zw. den Punkten machen, weil es mathematisch nicht moeglich ist? (Meine Meinung: alles was man zeichnen kann, kann man berechnen - selbiges auch umgedreht)
Dazu haette ich noch die Frage: gibt es eine Umkehrfunktion fuer Fakultaeten? Ich meine, ok: bei "normalen" Fakultaeten teilt man einfach solange durch x (x>0, nach jedem Teilen x=x+1), bis n/x=x+1 rauskommt.
Aber angenommen, die Annaeherungsformel ist korrekt - und sie wird auch auf bis zu 0.01% genau - dann wuerde z.B. 4.75! = 78.7865335 (die letzten 4 oder 5 Ziffern waeren also nicht korrekt) lauten... wuerde man die Punkte im K.-System mit geraden Linien verbinden, waere die Formel fuer 4.75! = 1*2*3*4*5*0.75 ... glaube ich zumindest  ... dann kaeme da allerdings 90 heraus.
Wenn ich jetzt die durch die Annaeherungsformel berechnete Fakultaet von 4.75 mit der Umkehrfunktion marke Eigenbau berechne, kommt am Ende jedoch ca. 3.28277 raus (1*2*3*4*3.28277).
Es gibt doch Taschenrechner, die auch halbe Fakultaeten oda so berechnen koennen - mit welcher Methode oder Formel wird das berechnet?
So, viele Fragen auf einmal, aba ich denk mal, ich wiederhole mich die ganze Zeit nur :o)
Wuerde mich sehr auf Antworten freuen - sonst komm ich in dem Punkt wohl nie weiter.
Bis denn, c-eAGLE
[www.c-eAGLE.com] |
Carsten
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 17:41: |
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Hi Roberto,
auf Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/11304.html
wurde schonmal so eine Frage beantwortet. Vielleicht hilft dir das schon. |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 16:35: |
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Huhu Carsten!
Danke fuer den Link, aber ich muss ehrlich sagen, dass mir dsa noch nicht weit genug hilft.
Waere fuer spezifischere Antworten, die direkt auch meine Fragen betreffen, dankbar
Bis denn, c-eAGLE |
Carsten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 11:19: |
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Hi Roberto, ich versuche mal, näher auf deine Fragen einzugehen:
Gibt es einen Weg, Fakultaeten von allen Zahlen zu berechnen?
Ja. Die Gamma-Funktion. Funktioniert für alle reellen Zahlen außer für 0 und die negativen ganzen Zahlen.
Es gilt G(x)=(x-1)! oder eben x! = G(x+1)
Die Formel, die du benutzt hast, scheint von der Stirlingschen Formel zu stammen,
die eigentlich nur für n -> oo gute Näherungswerte bringt:
n! » (n/e)n* Ö(2pn).
Der Faktor (24n+1)/(24n-1) ist ein Korrekturterm, der für kleine n ein Ergebnis liefert,
das noch näher am wahren Wert von n! liegt. Bei der Bildung eines einfachen Ausdruckes für die Umkehrfunktion sollte man den aber lieber weglassen, es ist sowieso schon schwer genug, das nn umzukehren.
..Fakultaeten von Zahlen in ein Koordinatensystem: welche Verbindung der Punkte waere korrekt?
einen Ausschnitt des Graphen der Gamma-Funktion für 0 < x < 4.5
(Also "Fakultäten" x! für -1 < x < 3.5) siehe auf
www-m12.ma.tum.de/lehre/an2_2001/maple/images/gamma1.gif
Oder zumindest von allen positiven?
Anmerkung: ich habe das zumindest wörtlich genommen, ein Bild, wo auch der negative x-Bereich enthalten ist, suche bitte selbst.
Siehe unten die Suchwort-Hinweise.
Eine Darstellung im Bereich -4 < x < 4 findest du auf
www.fh-kaernten.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_3a/node39.htm,
allerdings sind dort die Graphen von ln(G(x)) und 1/G(x) vertauscht worden.
Muesste man eine Kurve machen oder die Punkte jeweils mit geraden Linien verbinden?
Es kann dich wohl niemand hindern, gerade Verbindungen zu machen, aber wieso solltest du einen Graphen zeichnen, dessen Steigung nicht stetig zunimmt?
Aber ich denke, diese Frage hat sich sowieso erledigt.
Gibt es eine Umkehrfunktion fuer Fakultaeten?
Das weiß ich nicht, einen expliziten Ausdruck für die Umkehrung zu erhalten, sieht wie gesagt sehr schwer aus, weil nn drin vorkommt.
Ich denke, mit deiner Umkehrfunktion marke Eigenbau liegst du schon ganz gut dran,
denn sie scheint ganz passsable Werte zu liefern.
4.75! = 1*2*3*4*5*0.75
die 0.75 ist falsch, das müsste hierunter klar werden:
Wenn ich jetzt die durch die Annaeherungsformel berechnete Fakultaet von 4.75 mit der Umkehrfunktion marke Eigenbau berechne, kommt am Ende jedoch ca. 3.28277 raus (1*2*3*4*3.28277).
Das ist richtig.
Um 4! zu erhalten, wird 4! mit 1 multipliziert,
um 5! zu erhalten, wird 4! mit 5 multipliziert.
Stelle dir vor, du möchtest den Faktor, der von 4! bis 5! hinzumultipliziert wird, kontinuierlich von 1 auf 5 steigern. Dann landest du bei 4.75 eben bei deinem Wert 3.28, der für die 78.78 sorgt, die zwischen 4!=24 und 5!=120 liegt.
Es gibt doch Taschenrechner, die auch halbe Fakultaeten oda so berechnen koennen - mit welcher Methode oder Formel wird das berechnet?
Ob dazu die Gamma-Funktion exakt einprogrammiert wurde oder nur näherungsweise gerechnet wird, weiß ich natürlich nicht, da ich mich mit der Taschenrechnerherstellung nicht auskenne, aber eine relativ einfache Formel für halbzahlige Fakultäten ist diese hier:
(2n)!
------- * Öp = G(n+½) = (n-½)!
n!*22n
So ist die "Fakulät" von beispielsweise 4.5 mit n=5 in die Formel eingesetzt ungefähr 52.34
Es gibt noch mehr Darstellungen der Gamma-Funktion. Gib in eine Suchmaschine mal
Gamma-Funktion / Gammafunktion
ein (manche schreiben sie mit Bindestrich), und kombiniere sie mit einem oder mehreren der Wörter
gaußsche
eulersche
Darstellung
Produktdarstellung
Integraldarstellung
Limesdarstellung / Grenzwertdarstellung
Stirling-Formel / Stirlingsche Formel / Näherungsformel Fakultät
Umkehrfunktion / Umkehrung
Betafunktion
etc. |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 11:38: |
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Das hilft mir gut weiter - danke fuer die schnellen Antworten, Carsten!! |
Carsten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 19:25: |
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Hi Roberto,
ich wäre daran interessiert, zu erfahren, welche Links du für brauchbar hältst - nicht, wie weit du die Gammafunktion inzwischen schon verstanden hast oder so - einfach nur alle Links, die du dazu angesammelt hast, könntest du die hier veröffentlichen? |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 00:22: |
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Huhu Carsten!
Sorry, hatte viel zu tun, hab mich noch nicht wirklich wieder darum kuemmern koennen - deswegen auch die spaete Antwort.
Sag mal, kennst Du eigentlich Moeglichkeiten, n^n umzukehren?
Falls ja: Links?
Falls nein: Hast Du ein paar Ansaetze?
Bis denn, c-eAGLE
PS: Ich werde mich die naechsten Tage dann hoffentlich endlich mal dahintersetzen koennen... |
Paul
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 09:51: |
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Was hat das alles mit "ungeraden Fakultäten" zu tun?
Gibt es auch gerade Fakultäten? |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 11:59: |
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Eigentlich wirklich ´ne gute Frage - es gibt sowohl gerade als auch ungerade Fakultaeten, sind ja alles ganze Zahlen.
Ich meinte mit der Topic hier urspruenglich eigentlich "Fakultaeten rationaler Zahlen" - sorry |
Carsten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 13:27: |
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Hi Roberto, ich kenne keine Umkehrung von n^n.
Ich habe nur einen Link dazu gefunden:
http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/node42.html
Ich denke, die Frage wirst du nochmal separat ins Forum stellen müssen. |
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