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Quadratische Gleichung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Quadratische Gleichung « Zurück Vor »

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Matheeins
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 10:21:   Beitrag drucken

Kann mir jemand sagen, wie ich zur Lösung folgender Gleichung komme: z²+(1-2i)z-2i=0 Z=komlexe Zahl
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mrsmith
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 14:52:   Beitrag drucken

hi Matheeins,

z^2 + (1-2i)z -2i = (z + 1)(z - 2i)

gruss mrsmith (mathe 15p)
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Rainer Karsch
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 22:50:   Beitrag drucken

Die Lösung von Mr Smith ist zwar mathematisch korrekt, aber pädagogisch wertlos, da sich der Lösungsweg nicht unmittelbar erschließt.

Nach dem Satz des Vieta gilt:
z^2-(z1+z2)z+z1z2=(z-z1)(z-z2)
Dabei sind z1 und z2 die Lösungen der quadratischen Gleichung.
Für deine Gleichung gilt dann 1-2i=-(z1+z2) und
-2i=z1*z2
Scharfes hinsehen ergibt z1=-1 und z2=2i

Eine Methode die immer funktioniert:
Wir wenden das auflösen von quadr. Gleichungen mittels pq-Formelan.
z^2+(1-2i)z-2i=0
z=-(1-2i)/2+-((1-2i)^2/4+2i)^1/2
z=-1/2+i+-(-3/4+i)^1/2
z=-1/2+i+-(1/2+i)
z1=2i z2=-1

Die Wurzel zieht man mit dem Ansatz:
-3/4+i=(a+ib)^2
-3/4+1=a^2+2abi-b^2
Vergleich von Real und Imaginärteil ergibt:
-3/4=a^2-b^2 1=2ab b=1/2a
-3/4=a^2-1/(4a^2)
-3/4 a^2=a^4-1/4

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