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Beitrag |
    
Markus (Shdow)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 21:03: | 
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Aufgabe:
a) Für welchen Wert von t geht die Wendetangente an das Schaubild von f mit ft(x)=x³-tx²+1 durch den Ursprung ?
b) Untersuchen Sie für das in Teilaufgabe a) bestimmte t das Schaubild von ft auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
c)Zeichnen Sie das Schaubild der in b) untersuchten Funktion einschließlich der Wendetangente für: x größer-gleich -3,5 und x kleiner-gleich 1 in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Aufgabe:
Durch ft(x)=x³-(4t-t³)x² ; t größer-gleich 0
a) Zeichnen Sie das Schaubild für t=0;0,5;1;2;2,5 in ein gemeinsames Achsenkreuz.
b) Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am meisten "rechts" ?
c) Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am "tiefsten" ? |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 12:58: |
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Hallo Markus
1. Aufgabe
a)ft(x)=x³-tx²+1
ft'(x)=3x²-2tx
ft"(x)=6x-2t
ft"'(x)=6
Wendepunkt ermitteln:
ft"(x)=0
<=> 6x-2t=0
<=>6x=2t
<=> x=t/3
y-Koordinate des Wendepunktes ermitteln:
ft(t/3)=(t/3)³-t*(t/3)²+1=(t³/27)-(t³/9)+1=(-2t³/27)+1
W(t/3;(-2t³/27)+1)
Steigung im Wendepunkt:
ft'(t/3)=3*(t/3)²-2t*(t/3)=t²/3-2t²/3=-t²/3=m
Wendepunkt und Steigung in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und nach b auflösen; also
y=mx+b
(-2t³/27)+1=(-t²/3)*(t/3)+b
(-2t³/27)+1=-t³/9+b
b=(-2t³/27)+(t³/9)+1=(t³/27)+1
Eine Gerade geht durch den Ursprung, wenn b=0 gilt.
=> (t³/27)+1=0
=> t³/27=-1|*27
=> t³=-27
=> t=-3
b) Mit t=-3 folgt
f(x)=x³+3x²+1
f'(x)=3x²-6x
f"(x)=6x-6
f'(x)=0 <=> 3x²-6x=0 <=> 3x(x-2)=0 => x=0 oder x=2
f"(2)=6>0 => Tiefpunkt bei x=2
f"(0)=-6<0 => Hochpunkt bei x=0
f"(x)=0 <=> 6x-6=0 => x=1 ist Wendepunkt
c)
mfg Lerny |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 13:04: |
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Hallo Markus
sorry Vorzeichenfehler unter b)
f'(x)=3x²+6x
f"(x)=6x+6
f'(x)=0 <=> 3x²+6x=0 <=> 3x(x+2)=0 => x=0 oder x=-2
f"(0)=6>0 => Tiefpunkt bei x=0
f"(-2)=-6<0 => Hochpunkt bei x=-2
f"(x)=0 <=> 6x+6=0 => x=-1 ist Wendepunkt
Jetzt stimmt's hoffentlich.
mfg Lerny |
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