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Ammer Rainer
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 19:13: | 
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Ich habe folgendes Mathe Problem:
Beweise: Wenn zwei nachbarseiten eines rechtecks und seine Diagonalen ganze Zahlen sind, dann ist der Flächeninhalt durch 12 teilbar.
Viel Spass!! Ich galub ist ne ziemlich harte Nuss
Ammer Rainer |
Ammer Rainer
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 13:10: |
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Es ist der Flächeninhalt des rechtecks gemeint, falls das nicht ganz klar ist. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 16:17: |
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Hi Rainer,
Für die Lösung Deiner Aufgabe verwenden wir die
bekannte Formel, nach welcher
pythagoreische Zahlentripel hergestellt werden können.
Diese Formel stammt übrigens vom Inder Brahmagupta
(geb.598 n.Chr.).
Setzt man
x = m^2 - n^2
y = 2 m n
z = m^2 + n^2,
wobei m und n (m>n) beliebige natürliche Zahlen sind,,
so erhält man in x , y , z wegen x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2
ein pythagoreisches Zahlentripel .
Die Fläche A des erwähnten Rechtecks ist demnach
A = x * y = 2 * m n * (m+n)*(m-n)
Man braucht nun nur noch zu zeigen, dass das Produkt
P = m n (m + n ) * (m - n ) durch 6 teilbar ist
Es ist leicht nachzuweisen, dass mindestens einer der Faktoren
den Teiler 2 und ebenso mindestens einer der Faktoren
den Teiler 3 hat.
Bezüglich des Teilers 3 arbeitet man am besten mit
Restklassen modulo drei und studiert die Fälle :
m kongruent 0 , 1, 2 modulo 3 und (unabhängig davon )
n kongruent 0 , 1 , 2 modulo 3.
Welche Konsequenzen hat das auf m n , auf m + n und auf m - n ?
Damit lässt sich der Beweis leicht vervollständigen
Bei dieser Gelegenheit möchte ich die Frage aufwerfen,
ob die folgende Aussage richtig ist.
Wenn in einem Quader mit ganzzahligen Kantenlängen
auch die Raumdiagonale ganzzahlig ist,
so ist das Volumen des Quaders durch 4 teilbar.
Viel Spass
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Ammer Rainer
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 17:52: |
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Vielen Dank für die rasche Lösung ein paar fragen hab ich aber noch:
1)Kann ich mit dieser Formel alle pytag. tripel erzeugen oder erzeugt die Formel zwar immer Tripel aber nicht alle möglchen.
2)Ich würde mich über einen Beweis dieser Formel sehr freuen, sondst ist sie für mich leider nicht anwendbar (Matheprof. ist ein absoluter Sicherheitsfanatiker, der will glaub ich selbst die Axiome Beweisen) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 09:49: |
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Hi Rainer,
Um den Ansprüchen Deines Lehrers zu genügen,
aber auch um der Sache willen, wollen wir etwas weiter
ausholen und subtiler vorgehen.
Warnung:
Anfänger könnten durch die folgenden Argumentationen
überfordert sein !
Dies ist von der Natur der Sache her begründet
Es geht darum, natürlichen Zahlen x , y , z zu finden,
welche der Gleichung
x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 ..................................................(1)
genügen.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A)dürfen
wir annehmen, dass x und y teilerfremd sind
Hätten x und y einen gemeinsamen Teiler t , so wäre auch
z durch t teilbar und t könnte aus der Gleichung
weggekürzt werden.
1)
x und y können nicht gleichzeitig gerade sein,
sonst wären sie nicht teilerfremd.
2.)
x und y können nicht gleichzeitig ungerade sein.
Wären nämlich x und y zugleich ungerade, so wäre nach (1)
z ^ 2 und damit z gerade.
Wir könnten ansetzen:
x = 2u +1 , y = 2v +1 , z = 2 w (u,v,w natürliche Zahlen)
Aus Gleichung (1) wird damit:
4 u ^ 2 + 4 v ^ 2 + 4 u + 4 v + 2 = 4 w ^ 2 , gekürzt:
2 u ^ 2 + 2 v ^ 2 + 2 u + 2 v + 1 = 2 w ^ 2
Links steht eine ungerade Zahl, rechts eine gerade ,
was nicht sein kann!
3)
Somit ist eine der beiden Zahlen x , y ungerade,
die andere gerade, z ist immer ungerade
O.B.d.A.dürfen wir annehmen , x sei ungerade; dann ist y gerade.
4)
Die Gleichung (1) wird umgeformt zu
x ^ 2 = z ^ 2 - y ^ 2 = (z + y) * (z - y) .............................................(2)
Nun setzen wir ( z + y ) = m , (z - y ) = n , (m > n)........................(3)
m und n sind beide ungerade, weil x^2 = m n ungerade ist.
Aus (3) erhalten wir leicht:
y = ( m - n ) / 2 , z = ( m + n ) / 2.....................................................(4)
5)
m und n sind teilerfremde (ungerade) Zahlen; ansonsten wäre
y = ½ *(m-n) und x ^ 2 = m * n nicht teilerfremd
6)
Nun schliessen wir:
Aus x ^ 2 = m * n folgt: m und n sind ungerade teilerfremde
Quadratzahlen:
m = p ^ 2 , n = q ^ 2 .................................................................. ......(5)
Würde nämlich m einen Primfaktor in einer ungeraden Potenz
enthalten, so wäre dieser mindestens noch einmal in n enthalten
im Widerspruch zur Tatsache aus 5), dass m und n teilerfremd
sind .
7)
Schlussfolgerung
Es ist:
x = p * q , y = ½ * ( p ^ 2 - q ^ 2 ) , z = ½ * ( p ^ 2 + q ^ 2 ) ..... (6)
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Anmerkungen
a) (6) stimmt bis auf die Bezeichnungen p , q, bezw. m, n
und bis auf den Faktor ½ mit den Formeln von Brahmagupta
in meiner ersten Arbeit überein.
b) Anregung: wähle der Reihe nach für (p / q) die Zahlenwerte:
(3/1),(5/1),(5/3),(7/1),(7/3),(7/5),(9/1),(9/5),(9/7),(11/1),(11/3)...
Du bekommst die (bekannten!) pythagoreischen Zahlentripel:
(3,4,5),(5,12,13),(15,8,17),(7,24,25),(21,20,29),(35,12,37),
(9,40,41),(45,28,53),(63,16,65),(11,60,61),(33,56,65)....
Auf diese Art erscheinen a l l e teilerfremden so genannten
Grundtripel, und damit ist Deine Frage hoffentlich hinreichend
beantwortet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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