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Bea
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 18:35: | 
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Hallo! Ich soll die lineare Abhängigkeit bzw. unabhängigkeit von f1,f2,f3,f4 feststellen. Dazu den Vektorraum P3 der Polynome von höchstens 3. Grad betrachten. V1 sei Untervektorraum von P3 und V1 = mit f1=x³+2x; f2=x³-6x²+3x-1; f3=-x³-18x²+17-3; f4=-4x³+6x²+3x+1. Ich habe damit begonnen ein Gleichungssystem aufzustellen. Dieses ist aber nicht lösbar? Was muß ich weiter tun?
Schon mal vielen Dank vor ab. Bea |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 23:25: |
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Hallo Bea,
Ein Polynom 3. Grades hat die allgemeine Form:
ax³+bx²+cx+d
Ein solches Polynom ist durch Angabe der Koeffizienten bestimmt.
Man bezeichnet also mit [a,b,c,d] einen Vektor, der ein Polynom festlegt.
In unserem Fall haben wir:
f1=[1,0,2,0]
f2=[1,-6,3,-1]
f3=[-1,-18,17,-3]
f4=[-4,6,3,1]
Du musst nun nur noch feststellen ob diese 4 Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.
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Bea
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 17:46: |
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Hallo Fern! Leider liegt bei der Feststellung der linearen abhängigkeit genau mein Problem. Ich habe mit den von dir gezeigten Vektoren folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
I –1a +1b –1c –4d =0
II 0a –6b -18c +6d =0
III 2a +3b +17c +3d =0 III+2*I
IV 0a -1b -3c +1d =0
Die Gleichung II und IV sind äquivalent denn 6*IV =II
aber wie gehe ich weiter vor? Die Dimension von V1 soll ich auch noch feststellen. Vielen Dank Bea |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 18:51: |
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Hallo Bea,
Ich fürchte, ich kann dir nicht viel weiterhelfen. Ich weiß nicht, welche Methoden ihr in der Schule zur Feststellung der Abhängigkeit von Vektoren gelernt habt.
Normalerweise stellt man eine Matrix mit den Vektoren als Spalten auf, reduziert die Matrix nach dem Gaußschen Verfahren und ersieht aus dem Resultat ob die Vektoren abhängig oder unabhängig sind. Ebenso die Dimension des von den Vektoren aufgespannten Vektorraumes.
In unserem Fall sind die Vektoren f1, f2, f3, f4 tatsächlich abhängig. Es ist f4=-3,25f2+0,75f3.
Die Dimension des Vektorraumes P3 ist 4.
Die Dimension des Unterraumes V1, aufgespannt durch f1, f2, f3, f4 ist 3. (Weil 3 Vektoren f1, f2, f3 unabhängig sind). |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 23:09: |
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Genau sowas macht Bea auch,nur halt mit den Zeilen. Die Gleichungen kann man nämlich auch als Matrix schreiben und das Umformen ist nichts anderes als addieren von Gleichungen.
Da ist es nicht verwunderlich,daß Du auf ein System mit unendlich vielen Lösungen kommst.Es bedeutet nämlich nur,daß das Gleichungssystem nicht nur die 0 als Lösung hat,sondern eine sogenannte nichttriviale Lösung.D.h. es gibt (a,b,c,d)¹(0,0,0,0) die das Gleichungssystem lösen,oder weitreichender : Eine Funktion ist durch die anderen drei darstellbar,was nichts anderes bedeutet,als das sie linear abhängig sind.
Die Dimension des Lösungsraums ist 4-Anzahl der reduzierbaren Gleichungen. |
Bea
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 11:10: |
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Vielen Dank Euch beiden, ich denke so langsam verstehe ich worum es geht. Ich habe noch Probleme bei einer anderen Aufgabe:
F: P3->P3 {f(x)=ax³+bx²+cx+d}
f->g {g(x)=3ax²+2bx+c} ich soll zeigen das für alle fi,fj,f e P3 und k e R gilt
1. F(fi+fj)= F(fi)+F(fj)
2. F(z*f)=z*F(f) für mich ist das die Darstellung der Eigenschaften von Vektorräumen
(f+g)(x)=f(x)+g(x) u.s.w. sehe ich das richtigt und genügt es die Funktion in diese Formel einzutragen oder muß ich alle Eigenschaften nachweisen? Im zweiten Teil sei f e P3 durch F(f) =g* mit g*(x) = 6x²-4x+3 (mit F aus 1.Aufgabenteil) Ich soll untersuchen ob die so def. Menge von Polynomen einen Unterraum von P3 bilden, also V2={f e P3/ F(f) =g*}
Gruß Bea |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 23:40: |
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Du beweist nicht,daß ein Vektorraum vorliegt,sondern,daß Differenzieren eine Lineare Abbildung auf P3 ist.
F : P3->P3 , f->f '
Und das läuft so :
Sei fi=aix3+bix2+cix+di,dann gilt
F(fi+fj)=F((ai+aj)x3+(bi+bj)x2+(ci+cj)x+(di+dj))
=3(ai+aj)x2+2(bi+bj)x+ci+cj
=3aix2+2bix+ci+3ajx2+2bjx+cj
=F(fi) + F(fj)
mit F(zf) läuft das ähnlich und wenn Du mit den Indizes nicht klarkommst,dann nenn die Funktionen einfach fi(x)=ax3+bx2+cx+d und fj(x)=ex3+fx2+gx+h
Im zweiten geht es um die Integration,die Ihr ja vermutlich auch schon hattet.Daher wirst Du wissen,daß der Lösungsraum eindimensional ist,nämlich V2={f|f(x)=2x3-2x2+3x+c und c€IR} |
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