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Beitrag |
    
Silvia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 17:21: | 
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Hi, ich hab ein großes Problem mit dieser Aufgabe, ich hoffe ihr könnt mir schnell helfen.
geg.:Punkte A(-3/3/4),B(3/2/2),C(6/4/-4),
D(4/-5/-1), P(6/2/0)
Die Ebene enthält die Punkte A,B,C
Aufgaben:
a) Bestimme die Ebene E in Koordinatenform, gib die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.
b)Vom Punkt D wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Berechne den Abstand des Punktes D von E und die Koordinaten des Lotfußpunktes L.
c)Zeige dass der Punkt P ein Punkt der Ebene E ist.Unter welchem Winkel schneidet die gerade DP die Ebene E
d)Bestimme eine Kugelgleichung K, die D als Mittelpunkt hat und durch P geht.
Gib eine Gleichung der Tangentialebene T an die K in P berührt.T* ist eine weitere Tangentalebene an K, die zu T parallel ist. Bestimme eine Gleichung von T*.
e)Die Kugel K schneider die Ebene E im Kreis k.
Berechne den Radius dieses Kreises.
Gib eine Gleichung der Schar aller Kugel an, die mit E den Schnittkreis gemeinsam haben.
Damit hab ich echt Probleme. Die Aufgabe a) hab ich teilweise gelöst, ich hab da 2x1+6x2+3x3-24=0 raus, aber ich komm irgend wie nicht auf die Schnittpunkte.
Ich hoffe ihr könnte mir bald helfen, denn daran knacke ich schon eine Woche und komm nicht weiter...Silvia |
buh
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 12:07: |
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Hi Silvia,
Koordinatenform besagt u.a., dass die Koordinaten eines Ebenenpunktes dort eingesetzt eine wahre Aussage ergeben.[Bsp. mit Punkt A: 2*(-3)+6*3+3*4-24=0]
Ein Punkt auf einer Koordinatenachse hat besondere Koordinaten: Q auf der x1-Achse hat x2=0 und x3=0; R auf der x2-Achse hat x1=0 und x3=0 ...
Zur Schnittpunktbestimmung mit der x1-Achse setze man also die Koordinaten (x1|0|0) in die Ebenengleichung ein: 2x1+6*0+3*0-24=0; damit ergibt sich x1=12; der Punkt ist Q(12|0|0). Genauso verfährt man bei den beiden anderen Schnittpunkten.
Gruß von buh
www.buhniversum.de |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 12:53: |
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Hallo Silvia,
Ich rechne mal a) fertig und b)
(Ich nenne die Koordinaten x,y,z anstatt x1,x2,x3)
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Ebene: 2x+6y+3z=24
Schnittpunkt mit x-Achse (y=0 und z=0)
(12; 0; 0)
Schnittpunkt mit y-Achse (x=0 und z=0)
(0; 4; 0)
Schnittpunkt mit z-Achse (x=0 und y=0)
(0; 0; 8)
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b)
Punkt D=(4; -5; -1)
Abstand D von E:
d = n.(A-D)/|n|
der Punkt bedeutet das Innenprodukt
Es ist n der Normalenvektor von E und |n| sein Betrag.
A kann irgendein Punkt von E sein.
A-D= (-3;3;4) - (4; -5; -1) = (-7; 8; 5)
n=(2; 6; 3)
|n| = 7
d = (2; 6; 3).(-7; 8; 5) /7 =(49/7) = 7
===========================
Lotfußpunkt:
Wir legen die Lotgerade durch den Punkt D:
x= (4; -5; -1) + t*(2; 6; 3)
Schnittpunkt dieses Lotes mit E:
2(4+2t) + 6(-5+6t) + 3(-1+3t) = 24
t = 1
Lotfußpunkt L = (4; -5;-1) + 1(2; 6; 3) = (6; 1; 2)
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 21:23: |
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Hi Silvia,
Um Deine etwas umfangreiche Aufgabe zu einem
guten Ende zu führen,. benütze ich die von Fern
mit Gewähr hergeleiteten Resultate :
Gleichung der Ebene E :
2 x + 6 y +3 z = 24
Der Vektor n = { 2 ; 6; 3 } ist ein Normalenvektor
dieser Ebene.
Der Abstand d des Punktes D von E ist d = 7.
Der Fusspunkt des Lotes von D us auf E ist
der Punkt L(6 / 1 / 2 ) ;so weit , so gut !
Teilaufgabe c )
Die Koordinaten des gegebenen Punktes P erfüllen die
Gleichung von E, somit liegt P in E.
Der Verbindungsvektor v der Punkte D und P sei v:
es gilt: v = Vektor DP = { 6-4; 2+5; 0+1}= {2;7;1}
Den gesuchten Neigungswinkel alpha der Geraden DP
bezüglich der Ebene E erhalten wir aus der Beziehung
alpha = 90° - beta ,
wobei beta der Winkel der Vektoren n und v ist.
beta ergibt sich mit Hilfe des Skalarproduktes n . v
dieser Vektoren gemäss einer bekannten Formel.
cos (beta) = [n . v ] / [ Betrag ( n ) * Betrag ( v ) ] =
[2*2 + 6*7 + 3*1] / [wurzel(49) * wurzel (54)}=
49 / [ 7 * wurzel(54)] = 7 / wurzel( 54 ) ; daraus
beta ~ 17,72°, also alpha ~ 72,28°.
Teilaufgabe d)
Der Radius R der gesuchten Kugel stimmt mit dem Betrag
des Vektors v aus der Teilaufgabe c ) überein.
Somit gilt R = wurzel (2^2+7^2+1^2) = wurzel(54.
Gleichung der Kugel
(x-4)^2 +(y +5)^2 +(z+1)^2 = 54 oder
x^2 + y^2 +z^2 - 8 x + 10 y + 2 z - 12 = 0
Die Tangentialebene T geht durch P und
steht auf dem Radius DP senkrecht.
Der Vektor v ist somit ein Normalenvektor von T
Gleichung von T im Ansatz:
2 x + 7 y + z = d
Da P auf T liegt , lässt sich die Konstante d bestimmen;
wir ermitteln : d = 26 , also
T: 2 x + 7y + z = 26.
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Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 21:57: |
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Hi Silvia,
Eine Parallelebene T* zur Ebene T : 2 x + 7 y + z = 26
können wir wie folgt ansetzen:
T*: 2 x + 7 y + z = K................................................(I)
T* ist ausserdem eine Tangentialebene der gegebenen
Kugel.
Die Konstante K ergibt sich daraus, dass T* von T
den Abstand 2 R ( = Kugeldurchmesser ) haben muss;
M liegt zwischen den Ebenen T und T* und zwar auf
Der so genannten mittelparallelen Ebene.
Wir erledigen die Ermittlung von K mit Hilfe
der Hesseschen Formel, indem wir die Gleichung (I)
in die Normalform überführen; diese lautet im
vorliegenden Fall ( H steht für Hesse! ):
[ 2 x + 7 y + z - K ] / H = 0 ...........................................(II)
mit H = wurzel ( 2 ^ 2 + 7 ^ 2 + 1 ^ 2 ) = wurzel( 54 )
Setzt man für x , y , z der Reihe nach
die Koordinaten des Punktes P(6/2/0) ein, so stellt die
linke Seite von (II) den Abstand des Punktes P von T* dar,
und dieser muss, wie gesagt, 2* R = 2* wurzel 54 betragen.
Wir erhalten die Gleichung für K:
2*6 + 7* 2 + 1*0 - K = H * 2* wurzel (54) , daraus K = - 82.
Gleichung für T* :
2 * x + 7* y + z = - 82
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Kontrolle:
Die Gleichung der erwähnten Mittelparallelebene lautet offenbar
2 * x + 7 * y + z = ½ * { 26 + (-82) }= - 28 .
Die Konstante rechts ist das arithmetische Mittel der beiden
konstanten Glieder auf der rechten Seite der Gleichungen für T und T*.
Wie man leicht nachrechnet, liegt der Mittelpunkt D der Kugel
auf dieser Ebne.
Fortsetzung folgt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 22:50: |
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Hi Silvia,
Deine Aufgabe ist wirklich voll schroff !
Wir lösen nun die Teilaufgabe e)
Der Radius des Schnittkreises ergibt sich
als Länge der Kathete PL im rechtwinkligen
Dreieck DPL mit dem rechten Winkel bei L.
Wir kennen die Länge 7 der andern Kathete DL
aus der Teilaufgabe b) sowie die Länge R = wurzel (54)
der Hypotenuse PD.
Wir erhalten somit:
r = wurzel (54 - 7^2) = wurzel(5)
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Der Mittelpunkt Z einer Kugel der Schar liegt auf der
Geraden g ,die durch L (6/1/2) geht und senkrecht zur
Ebene E steht.
Der Vektor n kann als Richtungsvektor dienen; vorsorglich
wollen wir ihn normieren (neue Bezeichnung n1)
d.h. so zusammenstauchen, dass er den Betrag eins hat.
Wir multiplizieren n mit dem Reziprokwert seines Betrages
d.h .mit 1/7 und erhalten:
n1 = { 2/7 ; 6/7; 3/7 }
Parameterdarstellung von g mit s = ZL als Parameter
in skalarer Form ( g durch L , Richtungsvektor - n1 )
x = 6 - 2/7* s , y = 1 - 6/7 * s , z = 2 - 3/7* s
Diese Koordinaten verwenden wir in der Kugelgleichung
der Reihe nach als Koordinaten u , v , w des Mittelpunktes Z,
der nun mit s selber variiert.
Der auch von s abhängige Radius ist PZ .
Wir bekommen
PZ = wurzel (PL^2 + s^2) = wurzel( 5 + s ^ 2 )
Somit erhalten wir als Gleichung der Kugelschar:
(x-6+2/7*s)^2 + (y-1+6/7*s)^2 + (z-2+3/7*s)^2 = 5 + s^2
Löst man noch die Klammern, so erhält man nach braver
Rechnung: eine andere Form der Kugelgleichung, nämlich:
x^2+y^2+z^2 -12x +4/7*s*x -2y +12/7*s*y -4z +6/7*s*z+36 -48/7*s=0
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N.B. Für s = 7 erhalten wir die Kugel aus der Teilaufgabe d),
für s = 0 die Gleichung der Kugel mit L als Mittelpunkt,
welche die Ebene E in einem Grosskreis durch P schneidet.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser ,megamath. |
Silvia
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 10:39: |
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Vielen Dank dass du dir eine solche Mühe gemacht hast H.R.Moser.
Danke für die Lösung, allein hätte ich das nicht hinbekommen.Silvia |
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