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Hans
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 13:02: | 
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Hallo! Ich habe ein Problem. Ich kann folgendes Beispiel einfach nicht lösen:
y=(a-x^2)/(b*e^x)
a und b sollen so gewähtl werden daß P(-1/e) ein Extrempunkt ist
e .... Eulerischezahl
Gesucht sind weiters die Nullstellen, die Extremwerte und die Wendepunkte bestimmt werden
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, HANS |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 14:53: |
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Hi Hans ,
Wir schreiben y als ein Produkt,; dann können wir bei der Bestimmung der Ableitung
die Produktregel statt die Quotientenregel anwenden. Wir bezeichnen dabei b^ (-1) der Einfachheit halber mit c Es gilt dann:
y = c*(a - x^2)* e ^ (-x)
y' = c * (- 2 x * e ^ (-x) + ( a -x ^2 )* (- e ^ (-x)) )
Nun sind die folgenden Bedingungen zu erfüllen:
1. Der Graph geht durch P (-1 / e) ; somit gilt y (-1) = e , also
e = c * (a -1 ) * e oder einfach : 1 = c * ( a - 1 ) und wegen c = b^ (-1) : b = a -1
2. Bei der Extremalstelle x = -1 ist die erste Ableitung null, d .h. y ' ( - 1 ) = 0,
somit: 0 = c * e ( 2 - a + 1 ) ; daraus folgt a = 3 und mit der Beziehung aus 1 .
sofort b = 2
Eine weitergehende Untersuchung zeigt : die Funktion hat bei x = - 1 ein Maximum
und ausserdem an der Stelle x = 3 ein relatives Minimum !
Gruss
H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 14:57: |
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Fortsetzung folgt gegen Abend !
H.R |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 18:20: |
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Hi Hans ,
Hier die versprochene Fortsetzung zur Lösung Deiner Aufgabe.
Von jetzt an gilt a = 3 , b = 2. Die Funktion heisst somit :
y = (3 - x ^2 ) / (2*e ^ x ) = 1/2 * ( 3 - x ^ 2) * e ^ ( - x )
Die Nullstellen sind sofort ersichtlich. Setze den Zähler null , und Du bekommst die beiden Nullstellen x = sqrt(3) und x = - sqrt (3).
Wir bilden die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Produktregel :
y ' = ½ ( -2 x *e ^ (-x) - (3 - x ^2 ) * e ^ (-x) ) = ½ * e ^ ( - x ) * (2 x + 3 - x ^2)
y ' ' = - ½ ( - e ^ ( - x ) * ( 2 x + 3 - x ^2 ) + e ^ (-x) * (2 - 2 x) ) = - ½ e ^ (- x ) * ( x ^ 2 - 4 x -1 )
1. Um die Extremalstellen zu erhalten, setzen wir y ' = 0. Da die Exponentialfunktion e ^ (-x) nie null ist, setzen wir die letzte Klammer null; wir erhalten die quadratische Gleichung x^2 -2x -3 = 0 mit den Lösungen x = - 1 ( wie gehabt ) für eiin Maximum und x = 3 für ein Minimum
2. Um die Wendepunkte zu bestimmen , ermitteln wir die Nullstellen von y ' '.
Diese ergeben sich als Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 - 4x -1 = 0
Es sind die Werte x = 2 + sqrt (5) (zugehöriger y-Wert als Näherung : y = -0.10808 )
und x = 2 - sqrt (5) mit y = 1.8641
Ich glaube , das sollte genügen !
Gruss
H.R. |
Hans
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 08:45: |
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Vielen Dank HR!
Wie funktioniert das dann mit der Fläche zwischen x-Achse , y-Achse , Kurve und Tángente???
Ich währe dir sehr dankbar wenn du mir das auch noch erklären könntest.
Liebe Grüße Hans |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 09:49: |
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Hi Hans,
Du solltest Deine Fragen noch präzisieren.
1. Handelt es sich bei der fraglichen Funktion um das numerische Beispiel mit a = 3 , b=2
oder sind die Berechnungen allgemein auszuführen ?
2 Wenn Flächen zwischen den Koordinatenachsen und der Kurve gemeint sind, müsste man noch angeben, ob das Flächenstück im ersten oder im zweiten Quadrant gemeint ist.
Tangenten spielen in diesen Fällen keine Rolle
3. Welche Tangente ist überhaupt gemeint ? Kommt eine solche als Begrenzung eines
Flächenstücks in Frage ?
Bitte um Antwort !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
Hans
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 12:05: |
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Hallo!
Erstmal Danke für deine Bemühungen bisher!
Nun haben wir ja N,E,W, somit kann ich die Kurve ja zeichnen. Jetzt brauch ich noch die Tanente in Pkt (1/y1). Wenn ich diese hab gibt es wahrscheinlich mehrere Flächen zwischen x-Achse, y-Achse, Kurve und Tangente! Deise ist nun gefragt.
Ich hoffe du kennst dich jetzt aus.
Bis bald, Hans |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 15:51: |
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Hi Hans ,
Ich hatte noch einiges in Haus und Hof zu besorgen ; jetzt bin ich aber wieder voll da und kann mich Deiner Aufgabe widmen.
Ich empfehle Dir , Deine Funktion mit einem Computeralgebrasystem oder von freier Hand im ersten Quadranten graphisch darzustellen.
Wir verständigen uns auf die folgenden Bezeichnungen:
Der Berührungspunkt der Tangente t sei P1 (1 /.y1 ) ; diese Tangente schneidet die x-Achse in A, die y- Achse in B
Der Schnittpunkt der Kurve mit der positiven x -Achse sei C, derjenige mit der y-Achse D.
Unsere Aufgabe bestehe darin , folgende Flächen zu berechnen:
A1 : begrenzt von der Tangentenstrecke B P1 ,der Strecke BD auf der y-Achse und dem entsprechenden Kurvenbogen DP1.
A2: : begrenzt von der Tangentenstrecke P1 A ,der Strecke AC auf der x-Achse und dem entsprechenden Kurvenbogen.
Im Sinne einer Vorbereitung leiten wir die gegebene Funktion y = ½*(3-x^2)*e ^ (-x) mit Hilfe der Produktregel ab :
y ' = 1 / 2 (-2 x e^ (-x) - (3 - x ^2) e^ (-x) ) = - ½ e^ (-x) * (2x +3 - x ^2) (Formel I)
Du kennst Dich aus : die Ableitung von e ^ (-x) ist - e ^ (-x) wegen der Kettenregel.
Wir ermitteln noch das unbestinmmte Integral unserer Funktion und zwar mit zweimaliger partieller Integration:
Resultat vorneweg: int(y *dx) = ½ int ((3-x^2)*e^(-x)) * dx ) = = ½ e^ (- x) * ( x^2 + 2 * x - 1), ( Formel II)
Herleitung: int ((3-x^2)*e ^ (-x) * dx = - (3-x ) ^2*e ^( -x) + int ( -2 x * e^ (-x) *dx =
= - (3 - x ^2) * e^ (-x) - 2 * ( - e ^ (-x) *x + int (e ^ (-x) * dx ) = = - (3 - x^2)* e ^ ( -x ) + 2 x *e ^( - x ) +2 *e ^( - x ) = e ^ ( - x ) * ( - 3 + x ^2 + 2 * x + 2) =
e^ ( - x ) * ( x^2 + 2 * x - 1 ) ; jetzt brauchst Du nur nur noch durch zwei zu dividieren ,um Formel II zu erhalten.
Nun bestimmen wir die Gleichung der Tangente t . Um y1 zu bekommen, setzen wir für x den Wert 1 in die Funktionsgleichung ein ; wir bekommen y1 = e ^ (-1).
Um die Steigung m von t zu erhalten, setzen wir wiederum x = 1 ein , diesmal in die Formel I; es kommt m = -2 * e ^ (-1). Die Gleichung von t hat somit die Gestalt
y = - 2 * e ^ ( -1) * x + q . Damit t durch P1 geht , muss q = 3 * e ^ (-1) sein. Nachprüfung durch Einsetzen der Koordinaten von P . Also t : y = - 2 * e ^ ( - 1 )* x + 3 * e ^ ( - 1 ) Die Achsenschnittpunkte A und B erhält man direkt aus der Gleichung von t ;
für A : y = 0 , somit A ( 3/2 / 0 ) für B : x = 0 setzen : B ( 0 / 3* e^ (-1)).
Die gesuchten Flächen erhalten wir nun durch Integration . Wir ermitteln die entsprechenden Flächen unter der Kurve bis zur x-Achse und subtrahieren davon das eine Mal eine Trapezfläche ,das andere Mal eine Dreiecksfläche -
Wenn es interessant wird , kommt die berüchtigte Unterbrechung !
Fortsetzung nach Möglichkeit heute abend .Gruss H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 20:55: |
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Hi Hans ,
Nun folgt die Fortsetzung der Flächenberechnung:
Zuerst berechnen wir die Fläche T des Trapezes O E P1 B (Mittellinie mal Höhe h = 1)
T = h * (y1 + y B) / 2 = 1 * ( e ^ ( - 1 ) + 3 * e ^ (-1 ) ) / 2 = 2 * e ^ ( -1)
Jetzt die Fläche D des Dreiecks E A P 1 : D = ½* ( x A - 1 ) * y1 = ¼ * e ^ ( - 1).
Die Fläche J1 unter der Kurve bis zur x-Achse von x = 0 bis x = 1 ist das Integral über y ,
in den Grenzen von null bis eins ; gemäss Formel II gibt das J1 =1/2*e ^ (-1)*(1+2-1) -1/2*(-1) = e^ (-1) + ½
Die Fläche J2 ist die Fläche unter derselben Kurve bis zur x-Achse
von x = 1 bis x = wurzel(3) , (x-Wert von C)
Also wieder gemäss Formel II : J2 = ½ * e ^ (- wurzel(3)) *( 3 +2* wurzel(3) -1)
-1/2 * e ^ (-1)*(1+2 -1) = e ^ (- wurzel(3)) *(1+wurzel(3)) - e ^ ( - 1 ). Endlich erhalten wir die gesuchten Flächen A 1 und A 2 in vereinfachter Form:
A1 = J1 - T = ½ - e^ ( - 1 ) und A2 = J2 - D = e ^ (- wurzel(3)* (1 + wurzel(3)) -5/4*e^(-1)
Das wäre geschafft !
Mit Gruss:H.R. |
kim
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 15:01: |
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Hallo Ihrs!
Ihr seit jetzt echt meine letzte Hoffnung!
Ich schreib am Mittwoch eine klausur und komme immer bei den Formeln durcheinander, die ich bei einer Kurvendiskusion anwenden muss!
Könnt ihr mir nicht vielleicht mal was allgemeines geben wo ich genau die richtige Reihenfolge erkennen kann, wo ich eben nur andere Werte eingeben muss? Das würd mich echt glücklich machen, das rechnen an sich ist net so ein Problem!
Ihr seid echt lieb!
Danke
Kim |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 23:21: |
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Hallo Kim,
imer erst die Funktion und darunter die Ableitungen hinschreiben. Dann diese ganzen Funktionen gleich Nullsetzen.
Jetzt viele Beispiele durchschauen (Patentrezepte gibt es leider nicht).
Beispiele findest Du hier en masse.
Generell hilft Dir auch das Online-Mathebuch
Ralf |
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