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Tina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 13:46: | 
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Hallo Leute!
Ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und bin total durcheinander!
Ist jemand von euch in der Lage mir die verschiedenen Vorgehnsweisen bei Abstandsberechnungen von Ebene/Ebene, Gerade/Ebene, Punkt/Gerade etc. deutlich zu machen. Weiß nie was ich wann wie machen muss!
Ich weiß, dass das nicht gerade wenig zu erklären ist, aber ich wäre über jede kleine
Hilfe dankbar!
1000 Dank im Vorraus!!
Tina |
J
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 17:44: |
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Macht ihr die analytische gemetrie vektoriell?
Für eine erklärung brauch ich die stelle, beid er ich anfangen kann.
Melde dich noch mal
Gruß J |
Golvy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 07:38: |
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Hallo, ich möchte mal wissen, ob das was taugt, was ich mir da zusammengeschreibselt habe, auf die gewünschte "jede kleine Hilfe" wird das wohl zutreffen.
Abstand d zweier Punkte R und Q, wobei Ortsvektor r zum Punkt R zeigt und
Ortsvektor q zum Punkt Q:
d = |r-q| = Ö( (r1-q1)² + (r2-q2)² + (r3-q3)² )
Abstand d eines Punktes R(r1| r2| r3) von einer Ebene E: x = p +k u + l v
Punkt R mit Ortsvektor
(r1)
(r2)=r
(r3)
d = |n° * (p - r)|
bilde n° aus Bedingung n°•u=0 und n°•v=0 (oder mit Vektorprodukt), wenn Ebene in Parameterform mit Spann- (=Richtungs-) vektoren u und v gegeben ist. Falls in Normalform gegeben, bilde einfach n° durch Division des Vektors n durch seinen Betrag |n| .
Abstand d zweier Ebenen: nur, wenn sie parallel sind, d.h., wenn ihre Normalenvektoren parallel sind:
Ebene E1: x = p +k u + l v,
Ebene E2: x=q + m1w1 + m2w2
(Richtungsvektoren w1 und w2 nicht weiter wichtig für Rechnung, es muss nur sichergestellt sein, dass Ebenen parallel sind, indem z.B. ihre Normalenvektoren gebildet werden)
d = |n° * (p - q ) |
Abstand d einer Geraden von einer Ebene:
nur, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist (es reicht, zu zeigen, dass der Normalenvektor der Ebene orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist; es ließe sich auch immer eine Linearkombination der Spannvektoren der Ebene so herstellen, dass ein Spannvektor v der Ebene gleich dem Richtungsvektor v der Geraden ist, dieses muss aber nicht gemacht werden, ist nur Argumentationshilfe, weil v hier sowohl bei der Geraden h als auch bei E verwendet wurde)
Gerade h: x = q + lv
Ebene E: x = p +k u + l v
d = |n° * (p - q ) |
Abstand zweier Geraden voneinander
g: x = p + ku
h: x = q + lv
(Zwei Fälle:
(a) Geraden sind nicht parallel
(b) Geraden sind parallel)
(a) bilde n° aus Bedingung n°•u=0 und n°•v=0
d = |n° * (p - q ) |
(b) Geraden sind parallel:
für den Fall bestimme Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden von Punkt der anderen Geraden., siehe letzten Punkt:
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Punkt R, geg. durch Ortsvektor
(r1)
(r2)=r
(r3)
Gerade g: x = p + ku
stelle Gleichung einer Hilfsebene in Normalform auf, ihr Normalenvektor ist gleich dem Richtungsvektor u der Geraden g.
Diese Hilfsebene ist also orthogonal zur gegebenen Geraden g und beinhaltet den Punkt R.
=> Gleichung (p + ku)•u = r•u => (p + ku)•u -r•u = 0 => (p + ku - r)•u =0
stelle diese nach dem Parameter k um und setze dies k in die Geradengleichung ein; es ergibt sich die Koordinate des Lotfußpunktes Q, bestimme Abstand von Q und R mit Formel für Abstand d zweier Punkte R und Q.
Für alle Probleme mit Ebenen:
Wenn Ebenen in Normalform statt in Parameterform gegeben sind, kann der Normalenvektor direkt übernommen werden.
Bis auf das letzte Problem (Punkt-Gerade) ist also bei allen anderen nur die Formel
d = |n° * (p - q ) |
zu merken, wobei die Bedeutung von p und q jeweils überlegt werden muss. |
Tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 22:11: |
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Hallo Golvy!
Ganz vielen lieben Dank für deine Hilfe!! Habs mir noch nicht genau angeguckt, werde es aber gleich ausdrucken und das alles mal genau durchrechnen!!
Danke, dass du dir so eine Mühe für mich gemacht hast!!
Lieben Gruß
Tina
PS: Danke auch dir "J", dass du dich bemüht hast, aber ich glaube dass von Golvy reicht schon!! Nicht dass du dir umsonst soviel Arbeit machst!!
Also nochmal 1000 mal Danke ! ;-) |
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