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Torsten
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 11:20: | 
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ich habe die Funktion f(x)=0,25x³+1,5x²-4x+5
Diese Funktion hat bei x=-1 eine Tangente.
Ich hab das Problem das ich die Fläche zischen der Tangente und der Funktion nicht herausbekomme.
Ich soll außerdem die Fläche ausrechnen, die von der Normalen(steht senkrecht auf der Tangente) bei x=-1 und f eingeschlosen wird.
Was muß ich machen?
Vielen dank im voraus
Torsten |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 13:23: |
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hi Torsten,
zunaechst musst du f(x) = 0.25x^3 + 1.5x^2 - 4x + 5 ableiten:
f'(x) = 0.75x^2 + 3x - 4
sodann ist f'(-1) = 0.75 - 3 - 4 = -6.25
die steigung der tangente.
den achsabstand der tangente findet man via
t(x) = f(-1) -6.25*(x+1)
= -0.25 + 1.5 + 4 + 5 - 6.25x - 6.25
= 4 - 6.25x
also ist die gleichung der tangente t(x) = 4 - 6.25x.
um die flaeche zwischen den beiden gleichungen zu finden, musst du nun die nullstellen der funktion g(x) := f(x) - t(x) bestimmen.
g(x) gibt die hoehe der flaeche in abhaengigkeit von x.
es gilt g(x) = 0.25x^3 + 1.5x^2 + 2.25x + 1
da schon bekannt ist, dass t(x) eine tangente an g(x) im punkt x = -1 ist, so ist automatisch x = -1 doppelte nullstelle von g(x). (warum?)
wir koennen also eine polynomdivision durchfuehren mit g(x)/(x^2 + 2x + 1) mit dem ergebnis, dass
g(x) = (x + 0.25)*(x + 1)^2 gilt.
damit ist das integrationsintervall zu [-1, -0.25] bestimmt.
nun musst du nur noch das integral ueber g(x) in diesen grenzen ausfuehren. (das mach ich jetzt nicht, weil du das sicher selbst kannst.)
die normale zu der tangente muss senkrecht auf jener stehen. der richtungsvektor der tangente in der zweidimensionalen ebene, in der der graph liegt ist offenbar (1, -6.25) der vektor der senkrecht darauf steht ist (6.25,1), oder, wenn man ihn verkuerzt (1, 1/6.25).
die gleichung der normalen ist also
n(x) = f(-1) +1/6.25 (x + 1)
das weitere procedere ist genauso wie oben beschrieben, nur, dass jetzt die nullstelle der differenzfunktion
h(x) = f(x) - n(x) bei -1 nur eine einfache nullstelle hat, es wird also darauf hinauslaufen, dass du nach der polynomdivision noch eine quadratische gleichung loesen musst. insbesondere gibt es dann *zwei* flaechen, die von f und n eingeschlossen werden. welche du davon berechnen willst ist dann Dir ueberlassen.
hoffentlich reichen diese hinweise?
viel spass bei viel rechnerei und
viele gruesse mrsmith. |
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