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Ezri
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Oktober, 2001 - 14:50: | 
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Hallo!
"Die Fläche zwischen der Bildkurve zu y=f(x)=x²/a, der x-achse und der Geraden x=b rotiert um die y-Achse.
Bestimme das Volumen!"
Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und hab auch ein Ergebnis raus aber ich hab absolut keine Ahnung ob es stimmt (und da ich diese Aufgabe als Beispielaufgabe in meinem Referat verwenden werde, wäre es glaube ich ganz gut wenn es nicht falsch wäre*g*)
Als Endergebnis kommt bei mir V=1/2*pi*ab² raus.
ich habe die Umkehrfunktion von f(x) gebildet und das Volumen über dem intervall [0,b] berechnet.
stimmt das soweit?
wenn ichs mir nämlich genauer überlege, stimmt glaube ich das mit dem intervall nicht?
müsste es nicht eigentlich [0,f(b)] sein?!?
*nun etwas verzweifelt bin*
ich hoffe, jemand von euch hat die zeit, mir da ein bißchen unter die arme zu greifen!
gruß, ev. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Oktober, 2001 - 16:02: |
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hi Ezri,
im moment stimmt es noch nicht.
das gebilde, das du berechnen willst, ist so
eine art "amphitheater", d.h.
auf einer geraden flaeche stehend (x-achse), innen hohl (f(x) = x^2/a) und mit einer geraden aussenwand (x=b).
da alles um y rotiert, sollte auch nach y integriert werden. das ist dir ja auch aufgefallen.
wenn es nicht hohl waere, dann waere das einfach
ein zylinder mit der hoehe f(b) =b^2/a, und der grundflaeche pi*b^2. integriert man die grundflaeche ueber y von 0 bis f(b) haette man also:
pi*b^4/a fuer den vollen zylinder.
insbesondere geht a im nenner ein. das ist vernuenfig. um dennoch die dimension eines volumens zu haben, ist dann zwangslaeufig b in der vierten potenz erforderlich.
um ihn hohl zu machen, muss noch der kern, der durch die gleichung f(x) = x^2/a bestimmt ist, abgezogen werden.
in abhaengigkeit von y ist die abzuziehende flaeche
f(y) = pi*a*y
(man muss zunaechst y = x^2/a nach x aufloesen, um den lokalen radius r in abhaengigkeit von y zu finden, sodann ist die flaeche offenbar
pi*r^2, wodurch die wurzel wieder wegfaellt.
diesen ausdruck fuer die flaeche musst du in y-richtung von 0 bis zum maximalen y von b^2/a integrieren.
ergebnis ist klarerweise (1/2)*pi*a*b^4/a^2 = pi*b^4/(2a).
dann wird das vom resultat fuer den zylinder abgezogen.
man hat also fuer das gesamte volumen
v = pi*b^4/(2a).
(ich find's ein erstaunliches ergebnis, dass genau die haelfte des volumens des entsprechenden zylinders dabei herauskommt. aber es ist halt mehr masse die am aeusseren rand des zylinders uebrigbleibt, und der zaelt mehr.
viele gruesse mrsmith. |
Ezri
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 13:11: |
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Vielen, vielen Dank, mr.smith!
Ich habe es mit Hilfe deiner Nachricht nochmal durchgerechnet und jetzt verstanden, wo meine Fehler waren!
DANKE :-)
ev. |
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