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Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 13:24: | 
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Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben:
1.Ein Draht der Länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen.
2.Aus einem 36cm langen Draht soll das Modell einer quadratischen Säule hergestellt werden. wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?
3.Welche oben offene Schachtel in der Form einer quadratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt 3 dm² ein möglichst großes Fassungsvermögen?
4.Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K(x)= x³+ 8x, wobei x die Anzahl der hergestellten Mengeneinheit bezeichnet. Der Verkaufspreis betrage pro Mengeneinheit p=200. Nimm an, dass sich zu diesem Stückpreis stets alle produzierten Mengeneinheiten verkaufen lassen.
Für welche Produktionsmenge wird der Gewinn maximal?
Bitte mit Erläuterungen dazu!!!
DANKE!!!! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 15:35: |
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Hallo Anna
1) Umfang eines Rechtecks: U=2a+2b=20 => a+b=10 => a=10-b
Flächeninhalt eines Rechtecks: A=a*b
=> A(b)=(10-b)*b=10b-b²
=> A'(b)=10-2b
A'(b)=0 <=> 10-2b=0 <=> 2b=10 <=> b=5
=> a=10-5=5
a=b=5
Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a=5 cm.
2) 36=8a+4h (a Kantenlänge des Quadrats, h Höhe der Säule)
=> 2a+h=9 => h=9-2a
Volumen: V=a²*h
=> V(a)=a²*(9-2a)=9a²-2a³
=> V'(a)=18a-6a²
v'(a)=0 <=> 18a-6a²=0 <=> 6a(3-a)=0
=> a=0 oder a=3
V"(a)=18-12a
V"(3)=18-36<0 => Max
h=9-2a=9-2*3=9-6=3
Alle Kanten sind 3 cm lang (Würfel)
mfg Lerny |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 16:00: |
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3. Die Kantenlängen der Schachtel seien a und h
Dann gilt
a²+4ah=3 => h=(3-a²)/4a
Volumen: V=a²*h
V(a)=a²*(3-a²)/4a=a(3-a²)/4=(3/4)a-(a³/4)
V'(a)=(3/4)-(3a²/4)
V'(a)=0 <=> (3/4)-(3a²/4)=0
<=> 3-3a²=0
<=> 3a²=3
<=> a²=1
=> a=1
V"(a)=-(3/2)a => V"(1)=-(3/2)<0 => Max
h=(3-1)/4=0,5
4. G(x)=U(x)-K(x)
G(x)=200x-(x²+8x)
G(x)=200x-x²-8x
G(x)=192x-x³
G'(x)=192-3x²
G'(x)=0 <=> 192-3x²=0
<=> 3x²=192
<=> x²=64
=> x=8
G"(x)=-6x => G"(8)=-48<0 => Max
Für eine Produktionsmenge von 8 Einheiten ist der Gewinn maximal; er beträgt dann
G(8)=192*8-8³=1536-512=1024
mfg Lerny |
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