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Beitrag |
    
Anika
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 15:33: | 
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berechne den inhalt der fläche die vom graphen von f und der geraden g begrenzt wird!
f(x)=1/3*(x³+3x²-9x)
g ist die tangente an den graphen von f im punkt p=(1,f(1)) |
Anastasia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 17:16: |
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P (1;-5/3)
Tangentengleichung: y=mx+t
m=Steigung=f'(1)
f'(x)=x²+2x-3 f'(1)=0
-5/3=0*1+t t=-5/3
also tangente: t: y=5/3
2. SChnittpunkt mit f: 1/3(x³+3x²-9x)=-5/3
x³+3x²-9x+5=0
x=1 oder x=-5 (z.b.durch probieren)
Int.von -5 bis1 (f(x)-t(x))dx=
" (1/3x³+x²-3x+5/3)dx=
[1/12x^4+1/3x³-1,5x²+5/3x]oben 1 unten -5=
1/12+1/3-3/2+5/3-625/12+125/3+75/2+25/3...
das ausrechnen überlass ich dann mal dir! ;-) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 17:25: |
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Hi Anika!
f(x)= 1/3 * (x³+3x²-9x)
Um die Tangente an den Graphen von f zu erhalten, brauchst Du die Koordinaten von P und die Steigung von f in p.
Die X-Koordinate hast Du ja bereits =1
Die Y-Koordinate erhälst Du durch einsetzen von 1 in die Originalfunktion f.
Für die Steigung brauchst Du die erste Ableitung:
f'(x)=1/3*(3x²+6x-9)
f'(x)=x²+2x-3
Die Steigung von f in P erhälst Du durch einsetzen von 1 in f'.
(Bei solchen Aufgaben kann es auch passieren, dass die Steigung Null ist. Lass Dich davon nicht verwirren!)
Die Gleichung der Tangenten g lautet dann:
g(x) = "Steigung" * (x - "X-Koordinate von P" ) + "Y-Koordinate von P"
Um nun die Fläche zu bestimmen, brauchst die gemeinsamen Punkte der beiden Kurven, damit Du weißt, von wo bis wo integriert werden muss.
Um die gemeinsamen Punkte zu berechnen, setze erst einmal:
f(x) = g(x)
Für f(x) setzt Du jetzt den Funktionsterm (=1/3(x³+3x²-9x) ein, für g(x) den Term, den Du vorher ausgerechnet hast.
Diese Gleichung löst Du jetzt so auf, dass auf der rechten Seite 0 steht und multiplizierst Du am Besten so, dass keine Brüche mehr da sind, z.B. mit 3.
Dann hast Du also eine Gleichung der Form:
x³ +irgendwas*x² +irgendwas*x +irgendwas = 0
Jede Lösung dieser Gleichung steht für einen gemeinsamen Punkt der beiden Kurven.
Da wir aber wissen, dass die eine Kurve g ja die Tangente von f ist, muss der Berührpunkt P auf jeden Fall ein gemeinsamer Punkt sein. Wir wissen also, dass x=1 eine Lösung dieser Gleichung sein muss.
Wenn man weiß, dass x=1 eine Lösung der Gleichung ist, dann darf man
(x³ +irgendwas*x² +irgendwas*x +irgendwas) : (x-1)
Polynom-dividieren.
Dabei kommt dann etwas raus, dass ungefähr so aussehen müsste:
x² + irgendwas*x +irgendwas = 0
Das kann man nun mit pq-Formel (oder abc-Formel, falls diese bekannt ist) nach x auflösen:
Falls sich zwei verschiedene Lösungen ergeben, hat man dann sozusagen drei Lösungen: die x=1, und die zwei Lösungen, die die pq-Formel liefert.
Vermutlich sind nun zwei dieser drei Lösungen identisch, sodass insgesamt nur zwei verschiedene Lösungen existieren, eine davon die x=1 und eine andere.
Diese zwei Zahlen (x=1 und die andere) sind unsere Integrationsgrenzen.
Die Fläche zwischen zwei Kurven ist durch das folgende Integral gegeben:
FLÄCHE = òa b (f(x)-g(x)) dx
wenn f auf dem Intervall von a bis b immer größer als g ist und a die untere und b die obere Grenze ist.
Wenn dieser Wert jetzt negativ ist (z.B. -36), dann ist irgendwas schief gelaufen, denn eine Fläche müsste immer positiv sein (z.B. +36).
Du kannst ja mal schauen, wie weit Du kommst, Wenn es noch irgendwo Probleme gibt, frag einfach nochmal nach!
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen!
Ciao
Cosine |
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