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Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 13:05: | 
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Geg: f:x-> e^-x; x Element IR ^+/_0
Stelle die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f für eine beliebige Stelle x=u auf.
Bestimme das Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von f zwischen x=0 und x=10 um die x-Achse ensteht.
Für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt? |
J
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 17:21: |
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vorab: was IR ^+/_0 bedeuten soll, verstehe ich nicht!
zur tangentengleichung:
allgemein gilt für die gleichung der tangente t an den graphen einer differenzierbaren funktion f an der stelle a:
t: y= f'(a)*x+f(a)-a*f'(a)
in deinem fall:
t: y= -e-u*x+e-u+u*e-u
Das volumen des rotationskörpers bestimmst du durch
pi* integral von 0 bis 10 über (e-x)²dx = pi/2*(1-e-20
für den flächeninhalt des dreiecks benötigst du zunächst die schnittpunkte von t mit den koordinatenachsen
mit der ordinate: u*e-u
mit der abszisse: u+1
demnach ist der flächeninhalt des dreickes
A = 1/2*(u+1)*u*e-u
nach u ableiten:
A' = 1/2*e-u*(-u²+u+1)
davon die nullstellen:1/2*(1+wurzel(5)) und 1/2*(1-wurzel(5))
für die positive Wurzel ist ein relatives maximum gegeben.
anmerkung:ich vermute, dass die aufgabe nur für x>= 0 gedacht ist, denn für x<0 kannst du ein beliebig großes dreieck aus der tangente und den beiden koordinatenachsen (im 3.quadranten) erzeugen!
Gruß J |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 10:20: |
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Hallo J,
IR hoch + und _0 soll heißen
x element der reelen zahlen also R hoch + und unten steht eine null.
Bei dem Volumen, ist das schon die Lösung nee oder
ist ein wenig schwer, lerne gerade erst was über Intervalle!
c) Für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachesen, den maximalen Flächeninhalt?
Danke übrigens Goo |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 18:52: |
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Hallo,
kann jemand nochmal die Aufgabe c) beantworten,
c) für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen, den maximalen Flächeninhalt?
Merci Beaucoup
Goo |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Oktober, 2001 - 13:08: |
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Hallo Goo
Tangentengleichung: y=-e-ux+e-u(1+u) wie oben schon richtig ermittelt.
Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen:
y=0 => x=1+u
x=0 => y=e-u(1+u)
Flächeninhalt:
A(u)=0,5*(1+u)*e-u(1+u)=0,5e-u(1+u)²
A'(u)=-0,5e-u(1+u)²+0,5e-u*2(1+u)
=0,5e-u(1+u)(1-u)=0,5e-u(1-u²)
A'(u)=0 <=> u=1 oder u=-1
A"(u)=-0,5e-u(1-u²)+0,5e-u(-2u)
=0,5e-u(-(1-u²)-2u)
=0,5e-u(-1+u²-2u)
A"(1)=0,5e-1(-1+1-2)=-1/e<0 => Max
Für u=1 hat das Dreieck maximalen Flächeninhalt.
mfg Lerny |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 08:13: |
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Lerny,
vielen Dank, Ihr Mathegenie's seid Superschnell,
ich lerne auch, aber viel langsamer!!!!!
Merci
Goo |
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