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Anna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 20:00: | 
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Die fläche die von der ellipse x²/100 + y²/25=1 begrenzt ist wird durch die hyperbel x²-y²=20 in drei teilflächen zerlegt, die um die 1 achse rotieren. berechne die volumina der entstehenden rotationskörper! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 15:27: |
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Hi Anna ,
Die Halbachsen der gegebenen Ellipse sind a = 10
( auf der x-Achse ) , b = 5 ( auf der y -Achse ).
Hauptscheitel U(10/0) der Ellipse auf der positiven x-Achse.
Die Scheitel A und B der gegebenen Hyperbel liegen
auf der x-Achse : A ( -wurzel(20) / 0 ), B( wurzel(20) / 0 ),
Die Winkelhalbierenden der Quadranten
y = x und y = - x sind die Asymptoten der Hyperbel;
es liegt somit eine Normalhyperbel vor.
Wir lösen beide Gleichungen nach y ^ 2 auf und erhalten
für die Parabel
y ^ 2 = x ^ 2 - 20 = f (x) ,
für die Ellipse :
y ^ 2 = 25 - ¼ * x ^ 2 = g(x)
Aus der Gleichung f(x) = g(x) berechnen wir den
x-Wert des Schnittpunktes S der beiden Kurven im ersten Quadrant:
xS = 6 , daraus yS = 4
Zuerst betrachten wir die drei (endlichen) Flächenteile
zwischen Hyperbel und Ellipse, welche im ersten Quadrant liegen
Um die Schlussresultate zu erhalten, werden wir
am Ende der Rechnung Teilvolumina gemäss der
Symmetrie der Konfiguration bezüglich der y-Achse verdoppeln.
Wir berechnen drei bestimmte Integrale:
J1 = Pi * int [f(x) *dx], untere Grenze wurzel (20),obere Grenze 6
J2 = Pi * int [g(x)*dx], untere Grenze 6 , obere Grenze 10
J3 = Pi * int [g(x) * dx] , untere Grenze 0. Obere Grenze 6
Ergebnisse:
J1 = { - 48 + 80 / 3*wurzel(5) } * Pi
J2 = 104 / 3 * PI
J3 = 132 * Pi .
Die gesuchten Volumina V1 , V2 , V3 sind:
V1 = J1 + J2 = { - 40 / 3 + 80 / 3 * wurzel(5) } * Pi
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½* V2 = J3 - J1= { 180 - 80 / 3 * wurzel(5) } * Pi
Dieses Volumen ist wegen der Symmetrie noch zu verdoppeln
V2 = { 360 - 160 / 3 * wurzel(5) } * Pi
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V3 = V1 wegen der Symmetrie.
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Zur Kontrolle bilden wir die Summe S der drei Volumina:
S = V1 + V2 + V3 = 1000 / 3 * Pi
Dieser Wert stimmt mit dem Volumen V des Rotationsellipsoides
mit den Halbachsen a = 10 , b = 5 , c = 5 überein :
V = 4 / 3 * Pi * 10 * 5 * 5 = 1000/3 * Pi = S überein.!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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