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Andi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 19:56: | 
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Durch den Brennpunkt der ellipse 16x²+25y²=400 der auf der positiven 1.achse liegt , ist eine sehne normal zur 1 achse zu legen. durch die endpunkte dieser sehnegeht eine parabel in erster hauptlage.
das kleiner flächenstück das von ellipse und parabel eingecshlossen wird rotiert um die 1. achse. berechne das volumen des entstehenden rotationskörpers! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 13:08: |
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Hi Andi,
Meine Lösung Deiner Aufgabe, die fast zeitgleich mit einer
zum Verwechseln ähnlichen Aufgabe von Anna erschienen ist,
diene als Musterlösung solcher Aufgaben.
Die gegebene Ellipse hat die Halbachsen a = 5 auf der x-Achse
und b = 4 auf der y-Achse. Mit der Formel e^2 = a^2 - b^2 = 9
erhalten wir den Brennpunkt F(e / 0) = F ( 3 / 0 )
auf der positiven x-Achse.
Die zur y-Achse parallele Ellipsensehne hat den im ersten
Quadrant liegenden Endpunkt P( 3 / 16/5 ).
In der Parabel y^2 =2*p*x bestimmen wir den Parameter p so, dass sie
durch den Punkt P geht; wir erhalten 2 * p = 256 / 75 ..
Somit lautet die Gleichung der Parabel :
y ^ 2 = 256 / 57 * x
Zur Berechnung des Volumen eines Rotationskörpers
(Rotation um die x-Achse) verwenden wir im folgenden
die bekannte Formel V = Pi * int [ y^2 (x) * dx ],
wobei y = y(x) die erzeugende Kurve darstellt.
Wir haben es mit folgenden Funktionen zu tun:
f(x) = 16 - 16 / 25 * x ^ 2 ( Auflösung der Ellipsengleichung
nach y^2.
g(x) = 256 / 75 * x (Auflösung der Parabelgleichung nach y^2)
Wir berechnen die folgenden Volumina:
V = V1 = Pi * int [ { f(x) - g(x) } * dx ] ,
untere Grenze 0, obere Grenze 3
Ergebnis:
V1 = 672 / 25 * Pi als Antwort auf die im Text gestellte Frage
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Zur Kontrolle berechnen wir weitere Volumina, welche leicht
zu interpretieren sind:
V2 = Pi * int [ g(x) * dx ] , in denselben Grenzen
Ergebnis:
V2 = 384 / 25 * Pi
V3 = Pi * int [ f (x) * dx ] ,untere Grenze 3 , obere Grenze 5
Ergebnis:
V3 = 832 / 75 * Pi
Wir bilden die Summe S = V1 + V2 + V3 = 160 /3 * Pi
Diese Summe muss mit dem halben Volumen V* des
Rotationsellipsoides mit den Halbachsen a = 5 , b = 4 , c = 4
übereinstimmen.
Tatsächlich gilt
V* = ½ * 4 / 3 * Pi * 5 * 4 * 4 . = S
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser , megamath. |
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