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Milupina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 17:09: | 
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Hallo ihr,
ich habe hier eine aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekomme. wir haben die gleichung von unserem lehrer bekommen, aber ich glaube, die stimmt gar nicht.
1+4+7+.... 3n-1=0,5n(3n-1)
müßte es nicht heißen:
1+4+7.... 3n-2=0,5n(3n-2) ???
Welche stimmt denn jetzt und wie sieht der Induktionsschritt aus?
gruß sevi |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 18:36: |
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Hallo Sevi,
scheinbar war in der Aufgabe ein Fehler, den du entdeckt hast. Die Folge wird durch (3n-2)n beschrieben, wobei sich mit n=1 auch wie erwartet 1 ergibt. Allerdings war die rechte Seite korrekt mit n(3n-1)/2.
Induktionsannahme:
1 + 4 + 7 + ... + (3(n-1)-2) + (3n-2) = n(3n-1)/2
Also hier der Induktionsschluss von n-1 --> n:
1 + 4 + 7 + ... + (3(n-1)-2) + (3n-2) | Induktionsannahme verwenden
= (n-1)(3(n-1)-1)/2 + (3n-2)
= (n-1)(3n-4)/2 + (6n-4)/2
= (3n2-7n+4)/2 + (6n-4)/2
= (3n2-n)/2
= n(3n-1)/2
qed.
Beste Grüße
Uwe |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 14:30: |
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In der zweiten Zeile wird die Induktionsannahme angewendet, denn man geht ja bei der vollständigen Induktion davon aus, dass alle Schritte von 1 bis n-1 schon bewiesen sind und schließt dann von n-1 auf n (Man könnte aber auch von n auf n+1 schließen).
Also wird
1 + 4 + 7 + ... + (3(n-1)-2)
ersetzt durch
(n-1)(3(n-1)-1)/2
Das entspricht der Induktionsannahme jedoch mit n-1 anstatt n. Insgesamt kann man sehen, dass die Vereinfachungsschritte dann die Annahme auch für n bestätigen. |
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