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Sabrina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 21:36: | 
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Also ich hätte hier zwei Funktionen zum Diskutieren und weiß absolut nicht, wie ich das hinbekommen soll, weil ich noch nicht mal weiß, wie das mit den Ableitungen funktioniert. Also die Funktionen sind:
1. f(x) = 1/2 (e^x + e^ - x)
2. f(x) = x*e^x
Die Funktionen sind so zu diskutieren:
a) Symmetrie
b) Verhalten am Rande des Funktionsgraphen
c) Nullstellen
d) Extrema
e) Wendepunkte
f) Graph ( den bekomme ich noch so gerade hin)
Die zweite Funktion ist dann auch noch zu integrieren: Integral 1 bis -1 ( oder umgekehrt? Die 1 steht oben)
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar !
Winnie |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 22:32: |
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(1)
f '(x)=1/2(ex-e-x)
f ''(x)=1/2(ex+e-x)
Nullstellen : keine
Extremstellen : ex=e-x =>x=0
Wendestellen : keine,da ex+e-x>0+0=0
Symmetrie : f(x)=f(-x) -> symmetrisch zur y-Achse
lim f(x) = ¥ lim f(x) = ¥
x->¥ x->-¥
Denn lim ex=¥
x->¥
Die zweite solltest Du dann selber schaffen :
f '(x)=x*ex+1*ex=(x+1)ex
f ''(x)=(x+2)ex
Integration durch partielle Integration òuv' = uv - òu'v mit u(x)=x und v'(x)=ex |
Sabrina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 10:28: |
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Danke, Ingo. Ich habe versucht, es zu verstehen, aber könnte mir bitte das noch jemand ausführlicher erklären ? Warum ist es Achsensymetrisch, warum gibt es keine Nullstellen, wie kommst Du auf die Extremstelle ohne Nullstelle, warum genau gibt es keine Wendestelle ?
Winnie |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 19:24: |
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Okay,dann also doch die ausführliche Version :
ex ist immer größer als Null,egal was Du für x einsetzt.
Nullstellen
Demnach kann ex+e-x nie gleich oder kleiner als Null werden,denn Du addierst ja zwei positive Zahlen miteinander.Das 1/2 vor der Klammer ändert nichts daran.
Extremstellen
Die Extremstellen können nur dort liegen,wo die erste Ableitung Null ist(Die Ableitung der e-Funktion ist übrigens wieder die e-Funktion,was das Ableiten so einfach macht).
In diesem Fall hast Du zu lösen
0=1/2(ex-e-x) [mal 2]
0=ex-e-x [+e-x]
e-x=ex [Logarithmus auf beiden Seiten nehmen]
-x=x und das gilt nur für x=0
Eingesetzt in die 2.Ableitung : f ''(0)=1>0 => bei x=0 liegt ein Minimum vor.
Wendestellen
Hier ist f ''(x)=0 die Voraussetzung.Da aber die 2.Ableitung mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt,sind alle Nullstellen auch gleichzeitig mögliche Wendestellen.Nun gibt es aber keine Nullstellen,also kann es auch keine Wendestellen geben.
Symmetrie
Zu den einfachen Symmetrien gehören nur die Punktsymmetrie zum Ursprung und die Achsensymmetrie zur y-Achse.Erstere wird durch die Gleichung f(-x)=-f(x) gezeigt,die Achsensymmetrie durch f(x)=f(-x).Oder Anschaulicher : Wenn Du einen positiven x-Wert hast,muß der zugehörige y-Wert genauso groß sein,wie der y-Wert zu -x,denn sonst wäre die Symmetrie ja nicht gegeben.
Hier ist f(-x)=1/2(e-x+e-(-x))=1/2(e-x+ex)=f(x),also handelt es sich um Achsensymmetrie zur y-Achse.
Ist es so verständlicher ? Ich war nämlich davon ausgegangen,daß Dir die allgemeinen Ansätze(Nullstellen bei f(x)=0,Extremstellen bei f '(x)=0 u.s.w) bekannt sind. Falls Du damit Probleme hast sag ruhig nochmal bescheid.Auch das läßt sich nämlich alles schön anschaulich erklären.Notfalls setz ich noch ne Zeichnungen dazu. |
Sabrina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 09:29: |
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Noch mal danke Ingo, ich denke, jetzt verstehe ich es einigermaßen. Aber noch eine Frage: bei den Extrema, kommt man da auf die Nullstelle auch ohne den Logharitmus ? Den haben wir noch nicht behandelt, deshalb wäre es dumm, wenn ich den benutzen würde.
Die dritte Ableitung ist doch gleich der ersten Ableitung, oder ?
Winnie |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 12:37: |
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Winnie, du musst lediglich wissen, dass die e-Funktion "injektiv" ist, d.h. dass aus ea = eb zwangsläufig a = b folgt.
Die 3. (5., 7., usw.) Ableitung ist gleich der ersten. |
Johannes
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 13:20: |
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Hallo Winnie!
Das die 1.Ableitung gleich der 3. ist ist nicht immer so, nur bei deinem Bsp. ergibt sich das zufällig! |
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