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Beitrag |
    
Annika Firsching (Nikka)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 11:37: | 
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Ich soll eine Kurvendiskussion mit:
f(x)= x²-2x+1
x²-2x
durchführen. (Kann leider keine Bruchstrich!)
Bin bei den Ableitungen stecken geblieben.
Kann mir bitte jemand Helfen und mir die ersten drei Ableitungen sagen?
Dann könnte ich sehen, was ich falsch gemacht habe und weiter rechnen.
Vielen Dank und liebe Grüße Nikka |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 12:14: |
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Hallo Annika
f(x)=(x²-2x+1)/(x²-2x)
f'(x)=[(2x-2)(x²-2x)-(x²-2x+1)(2x-2)]/(x²-2x)²
=[2x³-2x²-4x²+4x-2x³+4x²-2x+2x²-4x+2]/(x²-2x)²
=(-10x+2)/(x²-2x)²
f"(x)=[-10(x²-2x)²-(-10x+2)*2(x²-2x)(2x-2)]/(x²-2x)4
=[-10(x²-2x)-2(-10x+2)(2x-2)]/(x²-2x)³
=(-10x²+20x+40x²-8x-40x+8)/(x²-2x)³
=(30x²-28x+8)/(x²-2x)³
f"'(x)=[(60x-28)(x²-2x)³-(30x²-28x+8)*3(x²-2x)²(2x-2)]/(x²-2x)6
=[(60x-28)(x²-2x)-3(30x²-28x+8)(2x-2)]/(x²-2x)4
=[60x³-28x²-120x²+56x-180x³+168x²-48x+180x²-168x+48)/(x²-2x)4
=(-120x³+200x²-160x+48)/(x²-2x)4
Bitte unbedingt nachrechnen.
mfg Lerny |
Rose
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 12:32: |
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Hallo Nikka !
f'(x) =((2x-2)*(x²-2x)-(x²-2x+1)*(2x-2))/(x²-2x)²
= -(2x-2)/(x²-2x)²
f''(x)= (-2*(x²-2x)²+(2x-2)²*2*(x²-2x))/(x²-2x)^4
= (2*(2x-2)²-2*(x²-2x))/(x²-2x)³
= (6x²-20x+8)/(x²-2x)³
Die dritte spar ich mir. Argumentiere z.B über
Vorzeichenwechsel |
Rose
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 12:38: |
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Berichtigung !
In der zweten Ableitung muss es statt 20x richtigerweise 12x heißen. |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 14:19: |
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hallo.
nachdem hier solch unterschiedliche ergebnisse zu tage gekommen sind ;-), rechne ich auch nochmal schnell nach:
f(x) = (x^2-2x+1) / (x^2-2x)
f'(x)=((2x-2)(x^2-2x)-(x^2-2x+1)(2x-2))/(x^2-2x)^2
f'(x)=((2x^3-4x^2-2x^2+4x)-(2x^3-2x^2-4x^2+4x+2x-2))/(x^2-2x)^2
f'(x)=((2x^3-6x^2+4x)-(2x^3-6x^2+6x-2))/(x^2-2x)^2
f'(x)=(-2x+2)/(x^2-2x)^2
f''(x)=((-2)(x^2-2x)^2-(-2x+2)*2(x^2-2x)(2x-2))/(x^2-2x)^4
f''(x)=((-2x^2+4x)-(-8x^2+8x+8x-8))/(x^2-2x)^3
f''(x)=(6x^2-12x+8)/(x^2-2x)^3
kann also das ergebnis von rose bestätigen. 
ciao
markus |
Annika Firsching (Nikka)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 16:30: |
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Erstmal vielen Dank für die tolle Hilfe!!!
Die erste Ableitung hatte ich auch so und die zweit habe ich jetzt auch verstanden.
Nur die dritte hat mir wieder Probleme gemacht...
wie lautet die Ableitung von
(6x^2-12x+8)/(x^2-2x)^3
Nochmal Danke
Liebe Grüße Nikka |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 15:08: |
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hi annika!
natürlich kannst du die dritte ableitung auch noch ausrechnen:
f''(x)=(6x^2-12x+8)/(x^2-2x)^3
=>
f'''(x)=((12x-12)(x^2-2x)^3-(6x^2-12x+8)*3(x^2-2x)^2*(2x-2))/(x^2-2x)^6
f'''(x)=((12x-12)(x^2-2x)-(6x^2-12x+8)*3(2x-2))/(x^2-2x)^4
f'''(x)=((12x^3-24x^2-12x^2+24x)-3*(12x^3-12x^2-24x^2+24x+16x-16))/(x^2-2x)^4
f'''(x)=((12x^3-36x^2+24x)-(36x^3-108x^2+120x-48))/(^x^2-2x)^4
f'''(x)=(-24x^3+72x^2-96x+48)/(x^2-2x)^4
f'''(x)=24*(-x^3+3x^2-4x+2)/(x^2-2x)^4
alles ohne gewähr.
ok, ist aber ziemlich viel zu rechnen. einfacher geht's, wie rose schon gesagt hat mit überprüfung von vorzeichenwechsel: du schaust einfach, ob die zweite abeitung an den stellen, an denen sie null wird, kurz vorher und kurz nachher ein anderes vorzeichen hat. falls das NICHT so ist, ist das gleichbedeutend damit, daß die dritte ableitung an der stelle null ist.
(achtung! umkehrschluß gilt nicht!)
ciao
markus |
