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Holger
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 13:27: | 
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Hallo,
ich benötige schnellstens Lösungen zu folgender Aufgabe:
geg. ist eine quadratische Pyramide mit den
Punkten: A(6/0/0); B(6/6/0); C(0/6/0) und
S(3/3/6), wobei S die Pyramidenspitze ist.
a) Gib eine Normalenform der zu (ABS) orthogonalen
Ebene E1 durch die Mittelpunkte der Kanten AS
und BS an.
b) Gib eine Normalenform der zu (BCS) orthogonalen
Ebene E2 durch die Mittelpunkte der Kanten BS
und CS an.
c) Bestimme die Schnittgerade von E1, E2.
Danke im voraus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 19:42: |
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Hi Holger,
Zuerst stellen wir die Koordinatengleichungen der Ebenen
F1 = SAB und F2 = SBC auf.
Wir ermitteln das Vektorprodukt n1 der Vektoren
SA = {3;-3;6} und SB = {3;3;-6} und
erhalten mit n1 = {36;0;18) =18*{2;0;1}
einen Normalenvektor der Ebene F1, dessen Gleichung lautet:
2 * x + z = 12; die Konstante 12 ergibt sich aus der Tatsache,
dass F1 durch S geht
Analog erhalten wir aus dem Vektorprodukt n2 der Vektoren
SB und SC ,d.h. aus n2 = {0;36;18} = 18* {0;2;1}
die Gleichung von F2: 2* y + z = 12
(Konstante 12 aus demselben Grund wie oben).
Nun berechnen wir die Koordinaten der Mittelpunkte M1,M2,M3
Der Seitenkanten SA,SB,SC als arithmetische Mittel der
gleichnamigen Koordinaten der Endpunkte :
M1 ( 9/2 / 3/2 / 3 ) , M2 ( 9/2 / 9/2 / 3 ), M3 ( 3/2 / 9/2 / 3 )
Verbindungsvektoren
u = M1M2 = {0;3;0}, v = M2M3 = {-3;0;0}
Lösung der Teilaufgaben
a)
Ein Normalenvektor p der gesuchten Ebene E1 durch M1,M2 und
senkrecht zur Ebene SAB ergibt sich als Vektorprodukt der Vektoren
u = Vektor M1M2 und dem Normalenvektor n1 der Ebene SAB.
Wir erhalten:
p = {3 ;0 ;-6} = -3*{-1;0;2}
Gleichung der Ebene E1: - x + 2 * z = 3/2.
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Beachte :E1 geht durch M2
b)
Ein Normalenvektor q der gesuchten Ebene E2 durch M2,M3 und
senkrecht zur Ebene SBC ergibt sich als Vektorprodukt der Vektoren
v = Vektor M2M3 und dem Normalenvektor n2 der Ebene SBC.
Wir erhalten:
q = {0 ;-3 ;6} = -3*{0;1;-2}
Gleichung der Ebene E1: y - 2 * z = -3/2.
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Beachte :E2 geht durch M2
c)
Ein Richtungsvektor der Schnittgeraden s der
Ebenen E1 und E2 ergibt sich als Vektorprodukt
n = p x q der Ebenennormalen p , q.
Es kommt:
r = {-8;-8;-4}= - 4 * { 2 ; 2 ; 1 }
Parameterdarstellung von s:
x = 4,5 + 2 * t , y = 4,5 + 2* t , z = 3 + t
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Beachte: s geht durch M2 !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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