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Beitrag |
    
tutnixzursache (Dabadu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 13:23: | 
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kann mir vielleicht mal jemand plausibel machen warum der lim (x->o) von sin (1/x) bzw. von x mal sin (1/x) nicht existiert??? |
Christian
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 14:08: |
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Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion. Wenn in diesem Beispiel x->0 läuft, läuft (1/x)->unendlich. Den sinus von (1/x)->unendlich kann man aber wegen der Periodizität nicht bestimmen. |
Luis
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 01:27: |
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Betrifft den zweiten Term:
Der Grenzwert von x*sin(1/x) existiert doch, wenn x gegen Null geht:
Der Faktor sin(1/x) liegt irgendwo zwischen -1 und 1, und der Faktor x läuft gegen Null, so dass das Produkt aus beiden gegen Null geht. |
Luis
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 02:26: |
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Hallo, ist hierzu jemand meiner Meinung? |
Friedrich Laher
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 14:39: |
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BIN Deiner Meinung Luis. Ist eigenlich
KEIN Grenzwertproblem.
Solche liegen nur bei "0/0", "unendlich/unendlich",
"0*undendlich", "0^irgenwas" und vielleich in paar
weiteren Fällen vor. |
Luis
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 16:37: |
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Danke für die Bestätigung.
Kleine Abschweifung vom Thema:
0^irgendwas ist ein Problem? ist es nicht immer gleich Null, solange "irgendwas" nicht Null ist? |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 14:25: |
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Luis: 0^irgendwas ist schon gleich Null, das Problem ist aber, dass es ja eigentlich heißt "etwas, das gegen 0 strebt hoch irgendetwas", die 0 wird ja beim gegen-Null-Streben in Wahrheit nie erreicht. |
Luis
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 15:08: |
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Hi Marty,
ich verstand das so (z.B. "irgendwas"=3):
limx --> 0 x³ ist gesucht.
Dann ist das x nicht gleich 0, aber man darf es meiner Meinung nach bedenkenlos =0 setzen, und somit, um Friedrich Laher zu zitieren, ist es "eigenlich KEIN Grenzwertproblem".
Dieses "bedenkenlose gleich Null setzen" kann man in den wirklichen Problemfällen nicht machen. |
Stefan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 17:46: |
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Hi
x*sin(1/x) gegen Null ist vielleicht für dich kein Problem, aber warum ist es kein Grenzwertproblem?
und zu 0 hoch irgendwas:
2.7 Ist 0^0 definiert?
Es gibt genau zwei mögliche Definitionen für 0^0, die den "algebraischen" Potenzrechenregeln
(a*b)^x = a^x * b^x
a^(x+y) = a^x * a^y
(a^x)^y = a^(x*y)
nicht widersprechen, also mit ihnen vereinbar sind, und zwar 0 und 1.
Wenn man von 0^0 mehr verlangt, z.B. dass es eine stetige Fortsetzung der Funktion x^y ( x>=0, y>=0, (x,y)<>(0,0) ) sein soll, gibt es nachweislich keine mögliche Definition, denn
lim x^0 = 1
x->0
und
lim 0^y = 0
y->0+
Es gibt daher keine "allgemeingültige" Definition von 0^0. Wenn man 0^0 einsetzt, muss man dazusagen, wie man es in diesem Falle definiert.
Horst Kraemer <horst.kraemer@snafu.de>
Wenn man 0^0 kombinatorisch definiert, also n^m = Anzahl der Abbildungen einer m-elementigen in eine n-elementige Menge, dann ist das Ergebnis 1.
Michael Klemm <M_Klemm@t-online.de>
Wer der Meinung ist, dass 0^0 undefiniert sein soll, gebe bitte eine Antwort auf die folgenden beiden Fragen:
1) Wie lautet der binomische Lehrsatz?
2) Wie lautet die Taylorreihenentwicklung im Höherdimensionalen?
Helmut Zeisel <helmut.zeisel@vai.at>
Fazit:
1) Es gibt gute Gründe, 0^0=1 festzulegen, aber keinen, 0^0 auf einen anderen Wert festzulegen.
2) Die Festlegung nach 1) ist nicht allgemein als selbstverständlich akzeptiert, so dass es gut ist, sie am Anfang explizit zu machen ("Wenn in diesem Buch 0^0 vorkommt, ist 1 gemeint").
3) Trotz 2) rechnen alle immer mit 0^0=1, insbesondere bei Potenzreihen.
Helmut Richter <Helmut.Richter@lrz-muenchen.de>
Weitere Erklärungen findet man in der sci.math-FAQ (englisch) unter http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000.
Stefan |
Luis
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 19:29: |
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Hallo Stefan,
Danke für die Zusammenstellung zum Thema 0^0.
Ich weiß nicht, ob verstanden hast, was ich sagen wollte.
Ich weiß nicht, warum du (mich?) fragst, warum "x*sin(1/x) gegen Null kein Grenzwertproblem" ist, ich jedenfalls habe nicht behauptet, dass es kein Grenzwertproblem wäre.
Ich habe nur gesagt, dass, solange "irgendwas" nicht Null ist, limx --> 0 xirgendwas meiner Meinung nach nie Probleme bereitet, die z.B. de'L'Hospital erfordern (und somit als Grenzwertproblem ein schwierigeres Problem darstellen), ich wollte rein aus Unwissenheit aber Interesse wissen, ob es bei irgendwelchen Exponenten Probleme geben kann, wenn man 0^irgendwas betrachtet, weil ich mich nicht so gut auskenne.
Dazu nochmal meine hoffentlich jetzt deutlichere Frage, zu der am besten selbst noch mal Stellung nimmt, da die Behauptung, bei "0^irgenwas" liege ein Grenzwertproblem vor, von ihm stammt.
Gibt es Werte, die der Exponent bei "0^Exponent" nicht annehmen darf, da es sonst nicht analog meinem Lösungsvorschlag von 16:08 Uhr behandelt werden dürfte?
Wie gesagt: solange das "irgendwas" als Exponent nicht gleich Null ist.
Damit habe ich das Problem 0^0 eigentlich ausschließen wollen. Für mich persönlich ist 0^0=1 und damit gut.
Mit freundlichen Grüßen
Luis |
Stefan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 20:25: |
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Hallo Luis
ich habe nicht dich gemeint
und limx --> 0 x^irgendwas ungleich 0
macht, denk ich, keine größeren Probleme
für x^-1 kommt halt z.B. unendlich raus.
Stefan |
Luis
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 20:51: |
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Hallo Stefan,
klar jetzt. Danke für den Hinweis auf x^-1.
Also Feststellung:
x^irgendwas ist entweder gleich 0 oder gleich +unendlich oder -unendlich für x --> 0.
Und damit nie was problematisches. |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 10:34: |
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Betrachtet doch mal z.B.
lim (x->0) x^(3/(4+2*ln x))
oder
lim (x->0) (sin x/x)^(1/x²)
wo die Basis auch gegen 0 strebt.
Mfg,
MARTY |
Luis
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 16:45: |
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cool wo hast du den lim (x->0) (sin x/x)^(1/x²) her?
Solche kreativen Schöpfungen wollt ich sehen.
Weiß jemand, wie man beweisen kann, dass das gleich 1/6Öe ist? |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 19:01: |
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ganz einfach: Als e-Funktion darstellen
= e^lim [(ln sin x - ln x)/x²]
und dann den De l'Hospital ein paarmal anwenden. Allerdings würd ich auf den ersten Blick sagen, dass da Null rauskommen wird. Vielleicht irr ich mich ja. Aber woher weißt du das Ergebnis, ohne den Rechenweg zu kennen? |
Stefan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 19:04: |
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wie kommst du auf e^-(1/6) ?
Stefan |
Stefan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 19:08: |
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ok ich war wieder mal zu spät ;)
aber ich denk auch eher, daß da e^0 bzw. 1 rauskommen wird
zumal sinx/x mit x gegen Null ja auch 1 ist.
Stefan |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 19:12: |
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sin x/x mit x gegen 0 strebt nicht gegen 1, wie du durch de l'Hospital leicht feststellen kannst. |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 19:14: |
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Sorry, natürlich strebt es gegen 1... cos x für x->0 ist 1. |
Luis
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 20:17: |
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Hallo ihr beiden, exp(-1/6) hat mir Maple geflüstert...
bin noch verkrampft dabei, das mit de l'Hospital zu beweisen... |
Luis
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 21:21: |
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Problem: darf man de l'Hospital auf [(ln sin x - ln x)/x²] für x --> 0 anwenden?
Ist das nicht nur erlaubt, wenn der Ausdruck die Form "0/0" hat?
Der Nenner x² geht zwar gegen 0, aber der Zähler (ln sin x - ln x) nicht klar erkennbar.
Ich würd den ln(sin(x)/x) nicht aufteilen, sondern diesen Weg nehmen:
(ab hier gelte immer, dass x ---> 0 geht)
lim(sin(x)/x) = lim(cos(x)/1) = 1
=> lim( ln(sin(x)/x) )=0, also Zähler geht gegen 0
lim(x²)=0, Nenner auch, also de l'Hospital anwendbar.
=> lim( ln(sin(x)/x) /x² )
(x/sin(x)) * (xcos(x)-sin(x))/x²
= lim( --------------------------------- )
2x
x cos(x) - sin(x)
= lim( -------------------- )
2x² sin(x)
immer noch gilt: Zähler --> 0 und Nenner --> 0, also nochmal:
cos(x) -xsin(x) - cos(x)
= lim( --------------------------- )
4x sin(x) + 2x² cos(x)
-sin(x)
= lim( ------------------------- )
4 sin(x) + 2x cos(x)
... nochmal ...
-cos(x)
= lim( ------------------------------- )
4 cos(x) + 2 cos(x) -2xsin(x)
-cos(0) = -1
4 cos(x) + 2 cos(x) -2xsin(x) = 4 +2 -0 = 6
=> lim( ln(sin(x)/x) /x² ) = -1/6 und damit (sin(x)/x)^(1/x²) = exp(-1/6)
ok, ich glaubs: "0^irgendwas" kann etwas problematisch werden. |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 21:44: |
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Du hast leider schon bei der ersten Ableitung einen Fehler; muss am Ende des Zählers x^4, nicht x² heißen!
[f/g]´ = (f´g-fg´)/g²
aber dass war sicher nur Schlampigkeit... Erstaunlich, dass du trotzdem mit Maple übereinstimmst.
Wenn ln (sin x/x) gegen Null strebt, dann natürlich auch ln (sin x) - ln x !!! Die beiden Ausdrücke sind ja äquivalent, identisch gleich.
mfg,
MARTY |
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