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Jasmin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 15:21: | 
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Hey Leute, könnt ihr mir bitte helfen!? Vielen dank schonmal!!!
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten grades hat in W (0/0) seinen wendepunkt und schneidet die x-Achse in N ( 4/0) . er schließt im 1. quadranten mit der x-Achse eine Fläche A vom Inhalt 64 FE ein. Bestimme die Funktionsgleichung von f!!!
ciao Jasmin |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 23:36: |
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Ansatz : f(x)=ax(x-4)(x+4)=ax(x²-16)=a(x³-16x)
ò04 f(x) dx =64
=> a(64-128)=64 => a=-1
f(x)=-x³+16x |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 14:56: |
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In der Regel nimmt man den Ansatz: a*x3+b*x2+c*x+d
da (0;0) ein Punkt auf dem Graph ist, ist d=0;
da (0;0) ein Wendepunkt des Graphen ist, ist b=0; (f''(x)=6*a*x+2*b; f''(0)=0 ® b=0)
dann muss f(4)=0; also a*43+c*4=0 ® c=-16*a
dann gilt ò0 4a*(x3-16*x)*dx=64 ® ... ® a=-1
Ingos Ansatz ist natürlich richtig, verlangt aber einige Kenntnisse von Funktionen; So muss eine Funktion 3. Grades, die bei (0,0) einen Wendepunkt hat, punktsymetrisch sein, und daher folgt, dass bei x=-4 eine weitere Nullstelle existiert und daher die komplette Linearfaktorzerlegung a*x*(x-4)*(x+4) zum Ansatz gemacht werden kann. Dass der Ansatz richtig sein muss, sieht man, wenn man beachtet, dass der Wendepunkt bei (0;0) fordert, dass kein Summand mit dem Exponenten 2 auftreten darf (siehe oben 3. Zeile); da man zwei Nullstellen kennt (0 und 4) gilt, dass f x*(x-4) proportional sein muss: man kann also schreiben f=a*x*(x-4)*(x-k), wobei k die 3. Nullstelle ist;
ausmultiplizieren liefert: a*x3-a*(k+4)*x2+a*4*k*x; damit kein Summand mit Exponenten 2 auftritt muss (k+4)=0, also k=-4;
eine Linearfaktorzerlegung, die so beschaffen ist, dass es zu jedem (x-m)n ein (x+m)n gibt, ohne dass ein (x-m) oder (x+m) "übrigbleibt" - ausgenommen ist "(x-0)" - davon darf es nur ungeradzahlig viele geben - ist einer Funktion zugehörig, deren Graph punktsymetrisch ist; (mÎR\{0}; nÎN0; man könnte auch n auf R ausdehnen...) (das beweise ich jetzt nicht)
Die Umkehrung (mit Einschränkung) gilt auch: Wenn man von einer ganzrationalen Funktion weiß, sie ist Punktsymetrisch zu (0;0) so ist ihre Linearfaktorzerlegung so beschaffen, dass es zu jedem (x-m)n ein (x+m)n gibt, ohne dass ein (x-m) oder (x+m) "übrigbleibt" - ausgenommen ist "(x-0)" - davon darf es nur ungeradzahlig viele geben.
Also muss f punktsymetrisch sein. Wenn man etwas Intuition hat, dann kann man direkt aus Wendepunkt bei (0;0) und Funktion 3.Grades schließen (man beweist es zwar nicht - man könnte zwar - aber es einem einfach klar; ich weiß auch nicht, wie man das besser beschreiben soll), dass f punktsymetrisch sein muss; man sieht sofort, dass wenn bei x=4 eine Nullstelle ist, und dass dann auch bei x=-4 eine sein muss. Da man einen Punkt bei (0;0) hat, ist auch bei x=0 eine Nullstelle. Man weiß auch dass eine Funktion 3. Gredes nur drei Linearfaktoren hat; also muss f~x*(x-4)*(x+4) sein; oder f=a*x*(x-4)*(x+4)
Ingos Ansatz ist intuitiv klar und ausserdem wesentlich einfacher als der Weg, den ich dir gezeigt habe; wenn du aber sagst, du würdest normal nicht drauf kommen, dann mach lieber einen allgemeineren Ansatz; er ist zwar mit mehr Arbeit verbunden, aber er führt sicherer zum Ziel. |
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