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Stefan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 18:56: | 
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f(x) = ( x + 2 )e^( -x )
f'(x)= (-x - 1 )e^( -x )
Aufgabe: Von dem Punkt p(x;0) aus sollen Tangenten an diese Kurve gezeichnet werden. Von welchen Punkten ist dies möglich?
Puhhh! Also ich suche genau den Abschnitt der X-Achse, durch den keinerlei Tangenten laufen.
Tangentengleichung ist y=mx+b wobei (denk ich mal) m=f'(x) und b=f(x). Ich bekomme also unendlich viele Tangenten für unterschiedliche X-Werte. Wie kann ich rausfinden, ob es nun eine Tangente gibt, die durch einen bestimmten Punkt der X-Achse läuft, oder wie finde ich das Stückchen der Achse raus, durch die keine Tangenten laufen? Graphisch gelöst ist das Stückchen etwa von -2 bis 2 (da macht die Kurve einen Buckel drüber). Aber wie kann ich das errechnen???
Danke schonmal !!! |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 22:36: |
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Die aufgabe ist wirklich verdammt interessant...
Gut fang ma an:
Zuerst einmal ist die allgemeine Tangentengleichung so gegeben (müsste auch in Formelsammlung stehen): f'(x0)*(x-x0)+f(x0), wobei x0 der Punkt ist, an dem die Tangente den Graphen von f berührt.(Setz mal für x=x0 ein, so wird der erste Summand 0; also ist der y-Wert der Tangente bei x0 f(x0). passt)
Damit ist die allgemeine Tangentengleichung in diesem Fall:
t(x,x0)=-ex0*(x0+1)*(x-x0)+(x0+2)*e-x0=-ex0*(x*x0-x02+x-2*x0-2)
Man muss nun t(x,x0)=0 setzen, und nach x0 auflösen, was nur gehen kann, wenn der Faktor in Klammern 0 wird; man erhält eine quadratische Gleichung, die die zwei Lösungen hat:
x0=x/2-1±1/2*Ö(x2-4)
Da unter einer Wurzel (im Reellen) nur eine positive Zahl stehen darf, muss gelten: x2-4³0 ® x2³4 ® |x|³2;
Da man t(x,x0)=0 gesetzt hat, ist x die x-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente mit der x-Achse (y=0); da aber |x|³2 gilt sind nur folgende Punkte zulässig:
{(p;0)|(|p|³2)} oder {(p;0)|pÎ]-¥;-2]È[2;¥[}
das heißt "alle Punkte (p;0) mit der Eigenschaft, dass p Element aus minus unendlich bis minus 2 vereinigt mit 2 bis unendlich ist"
Also stellt {(p;0)|pÎ]-¥;-2]È[2;¥[} die Punkte dar, von denen aus man eine Tangente an den Graphen von f legen kann. |
Stefan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 10:04: |
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Juchuuuu!!!!
ICH LIEBE EUCH :-) |
Stefan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 10:45: |
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Hmm ne ich versteh da doch etwas nicht.
Wie kann ich die Quadratische Gleichung nach x0 auflösen? |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 19:47: |
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Ich kanns schneller schreiben, wenn ich x0 durch k ersetzte; Also prinzipiell kann man eine solche Gleichung durch zwei Methoden lösen (wobei die eine eine Kurzformel von der anderen darstellt, was man aber nicht auf den ersten Blick bemerkt...): quadratische Erweiterung (verlangt ein wenig mathematisches Fongerspitzengefühl) und verwendung der sog. Lösunbgsformel (Verlangt Unerschrockenheit im Umgang mit Termen):
t(x,k)=-ek*(x*k-k2+x-2*k-2)=0
man kann daher durch (-ek) teilen, weil dieser Term niemals 0 wird; daher ist eine division durch 0 ausgeschlossen, also:
(x*k-k2+x-2*k-2)=0
das soll nach k aufgelöst werden; zunächst umformen:
-k2*1+k*(x-2)+(x-2)=0 ®
k2*1-k*(x-2)-(x-2)=0
1. Weg; quadratisch Ergänzen (wenn du das nicht mehr allgemein weißt, dann schau mal in die Hefte der 9. Klasse (zumindest Bayern); oder schau, ob du in der Schulbücherei ein Buch der 9.Klasse kriegen kannst):
k2*1-k*(x-2)+(x-2/2)2-(x-2/2)2-(x-2)=0
(k-x-2/2)2-(x-2/2)2-(x-2)=0
(k-x-2/2)2=(x-2/2)2+(x-2)=1/4*(x2-4*x+4+4*x-4*2)=1/4*(x2-4)
nach wurzeln:
|k-x-2/2|=1/2*Ö(x2-4)
Für eine solche Betragsgleichung gibt es zwei Lösungen:
k-x-2/2=1/2*Ö(x2-4) und k-x-2/2=-1/2*Ö(x2-4)
oder nach Umstellen:
k=x-2/2+1/2*Ö(x2-4)=x/2-1+1/2*Ö(x2-4) und k=x-2/2-1/2*Ö(x2-4)=x/2-1-1/2*Ö(x2-4)
oder zusammengefasst:
k=x-2/2±1/2*Ö(x2-4)=x/2-1±1/2*Ö(x2-4)
2. Weg; Einsetzen in Lösungsformel:
k2*1-k*(x-2)-(x-2)=0 ®
k2*1+k*(2-x)+(2-x)=0
k=(-(2-x)±Ö((2-x)2-4*1*(2-x)))=
_____________(2*1)
((x-2)±Ö(4-4*x+x2)+(4*x-8)))=
_____________2
x/2-1±1/2*Ö(x2-4)=
x/2-1±1/2*Ö(x2-4)
Ich hoffe du hast alles verstanden. Bei (x-2/2)2 musst du aufpassen; ich hätte besser ((x-2)/2)2 schreiben sollen, aber ich tu mir das jetzt nicht mehr an, es auszubessern |
Stefan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 23:38: |
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juchu hab alles 100%ig verstanden
jetz hab ich n richtig schlechtes gewissen, dass du dich so angestrengt hast wegen mir..
DANKE DANKE DANKE DANKE DANKE
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usw  |
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