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Beitrag |
    
Gregor
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 13:43: | 
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Kann mir bitte jemand helfen diese Aufgabe zu lösen?
Nils überlegt: Der Term 1+1/n hat als Grenzwert für n gegen Unendlich den Wert 1. Für jede beliebige Zahl n ist 1 hoch n = 1 also gilt:
lim (1+1/n)hoch n = 1
(n gegen Unendlich - soll noch unter lim stehen)
Nimm stellung dazu
Ich wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 14:54: |
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Hallo Gregor!
Nils denkt falsch, doch warum?
(1+1/n)n = (1+1/n)*(1+1/n)*...*(1+1/n), ist also eine Produkt, das aus n-Faktoren besteht, bildet man den Grenzwert für n geht gegen unendlich, so erhält man nicht 1, sondern 1unendlich, was ein unbestimmter Ausdruck ist, der jedoch ungleich 1 ist.
Gruß Toby |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 20:34: |
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hi gregor, hi toby.
nils denkt natürlich falsch, denn schließlich ist
lim (1 + 1/n)^n = e = 2,71828... = Eulersche Zahl
(n->unendlich)
aber die argumentation von dir, ingo, ist falsch.
der term (1+1/n)*(1+1/n)*...*(1+1/n) ist NICHT 1^unendlich, denn 1^unendlich ist natürlich 1.
gruß
markus |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 20:43: |
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ich nochmal...
hmm, jetzt, wo ich es vor mir stehen sehe, kommen mir plötzlich zweifel über meine antwort. ist 1^unendlich = 1 oder nicht?? vor 5 minuten war ich mir noch todsicher...
HILFE!!
markus |
sk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 23:39: |
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Man darf nicht erst den Grenzwert 1+1/n bestimmen und dann diesen Grenzwert hoch n nehmen und n gegen unendlich gehen lassen.
sk |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 18:49: |
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Hallo sk!
Du hast natürlich Recht, weil man so den Grenzwert der Folge nicht bestimmen kann. Man darf nur nicht wie Nils falsch schließen, dass 1 hoch unendlich zwingend 1 ist. Denn 1 hoch unendlich ist ein unbestimmter Ausdruck, der jeden beliebigen Wert annehmen kann, und in diesem Falle ist er die eulersche Zahl.
Gruß Toby |
sk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 19:04: |
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1 hoch unendlich gibt es doch gar nicht, und wenn doch, dann kommt 1 dabei raus, da lima-->oo 1a = 1
sk |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 21:44: |
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Hallo sk!
(1+1/n)n = (1+1/n)*(1+1/n)*...*(1+1/n), bildet man den Grenzwert eines jeden Faktors, so ist dieser offentsichtlich 1. Da es aber unendlich viele Faktoren sind erhalte ich 1 hoch unendlich als Grenzwert und nicht limn->00 1n, was natürlich 1 ist. Weitere unbestimmte Ausdrücke, die es eigentlich nicht gibt und jeden Wert annehmen können sind: 0*unendlich, unendlich/unendlich, 0 hoch 0 und 0/0. Alle diese Ausdrücke können bei einer Grenzwertbildung entstehen. Auch bei einer Untersuchung auf Lücken bei einer gebrochen-rationalen Funktion spielen sie eine Rolle. Setzt man die Lückenstelle in die Fkt.gleichung ein und erhält im Zähler und Nenner die 0 - also den unbestimmten Ausdruck 0/0, so weiß ich, dass die Fkt. eine hebbare (stetig ergänzbare) Lücke besizt, und deren Wert ergibt sich wieder durch Grenzwertebildung, indem ich das x durch eine Folge ersetze , die gegen die Lückenstelle konvergiert z. b. substituiere ich x mit 1/n + lückenstelle.
Andererseits weiß ich, dass die Fkt. eine Polstelle hat, wenn der Zähler ungleich 0 ist und nur der Nenner 0 wird bei Einsetzen der Lückenstelle, d. h. die Fkt. strebt gegen unendlich, wenn sich x der Definitionslücke nähert.
Gruß Toby |
sk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 23:10: |
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Die "Ausdrücke", die Du angibst, sind umgangssprachliche, aber keine mathematischen, das sagst Du ja auch.
Aber das ganze ist ja Haarspalterei, denn wir beide wissen wohl eh, wie man Grenzwerte bildet (als z.B. 1+1/n und "hoch n" bei (1+1/n)n nicht entkoppeln darf).
sk |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 15:43: |
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hi.
darf ich mal kurz zusammenfassen:
uns allen ist klar, wie man den ursprünglichen grenzwert lim n->oo (1+1/n)^n berechnet und daß dieser die eulersche zahl ist. ok.
aber: was mir oben unklar war und ich auch jetzt noch nicht weiß, ist folgendes:
zitat toby: 'Da es aber unendlich viele Faktoren sind erhalte ich 1 hoch unendlich als Grenzwert und nicht lim n->oo 1^n, was natürlich 1 ist.'
wo ist denn bitte der unterschied zwischen '1^oo' und 'lim n->oo 1^n' (wobei letzteres gleich 1 ist, was keiner von uns anzweifelt)??
meiner meinung nach erhält man nämlich nicht 1^oo; das erhält man nur, wenn man erst den grenzwert von 1+1/n bildet und dann hoch unendlich nimmt, was man aber natürlich nicht darf.
gruß
markus |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:40: |
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hi
toby, meldest du dich nochmal, oder hast du keine meinung mehr?
markus |
sk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 01:18: |
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Was soll denn Deiner Meinung nach 1oo bedeuten? Dieser Ausdruck ist mathematisch nicht definiert. Wenn Du ihn jetzt definierst, bin ich bis zum Ende der Diskussion mit dem definierten Wert einverstenden.
sk |
Tyll
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 12:13: |
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Hi all!
Na, da habt ihr dem Fragenden aber echt weitergholfen! Glaubt ihr ernsthaft, er hat jetzt verstanden, daß seine Argumentation hakt, weil er den Text falsch umgesetzt hat?
"Der Term 1+1/n hat als Grenzwert für n gegen Unendlich den Wert 1."
Also lim(1+1/n)=1
"Für jede beliebige Zahl n ist 1 hoch n = 1"
lim(1^n)=1, da es eine konstante Folge ist und der Grenzwert deswegen der einzige Folgenwert ist, eben 1.
1°° ist Unsinn, diese Zahl ist tatsächlich nicht definiert, weil Operationen mit oo nicht definiert sind, da - wie schon gesagt - alles mögliche dabei heruaskommen kann. Im Gegesatz dazu ist 0^0 durchaus definiert, nämlich als 1. Sieht man sich dazu mal die Reihendefinition von exp(x) an, fällt das sofort ins Auge.
"also gilt:
lim (1+1/n)hoch n = 1
(n gegen Unendlich - soll noch unter lim stehen)"
Natürlich falsch. Aber nicht, weil hier unendlich viele Faktoren stehen, sondern weil der gute Junge folgenden Fehler macht:
lim((1+1/n)^n) ist ungleich lim(lim(1+1/n))^n.
Aufgrund seiner Argumentation setzt er die beiden aber gleich und gelangt so zu seinem Denkfehler.
Gruß
Tyll |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 15:31: |
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moin.
also tyll, ich glaub der fehler, den gregor gemacht haben wir alle verstanden, aber danke nochmal für deine ausführungen.
1^oo ist nicht definiert, unbestimmter ausdruck, ok, akzeptiere ich hiermit, sache abgehakt. :-)
nur hast du, tyll, jetzt den nächsten stein ins rollen gebracht...
denn: 0^0 ist nicht definiert!
einerseits sagt man, 0^x = 0 für alle x>0; andererseits ist x^0 = 1 für alle x. deswegen bleibt 0^0 undefiniert. sieht man sich den graphen von x^x an, könnte man 0^0 durchaus als 1 definieren, denn lim x->0 x^x = 1.
(genau dieses problem kam bei mir übrigens in der mündlichen abi-prüfung dran, und da ich 15 punkte kassiert hab, weiß ich, daß es richtig war ;-).)
gruß
markus |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 21:50: |
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Hallo alle miteinander!
Tut mir leid, dass ich mich erst so spät melde, da ich im Urlaub war :-)
Markus hat recht, da 0^0 wieder ein unbestimmter Ausdruck ist, der hier den Wert 1 liefert. Nun kann man unbestimmte Formen wie 1^00 oder 0^0 aber auf die unbestimmte Form 0/0 oder 00/00 bringen, deren Grenzwerte man über die Regel von Bernoulli und de l'Hospital auswerten kann (falls der Grenzwert existiert).
So jetzt wird es konkret:
xx kann ich auch schreiben als ex*ln x und jetzt ist limx->0 xx = limx->0 ex*ln x = e^(limx->0 x*ln x) und nach de l'Hospital ist limx->0 x*ln x = limx->0 ln x / (1/x) = limx->0 1/x / (-1/x2) = limx->0 -x = 0, also
limx->0 xx = e0 = 1
q.e.d.
So ähnlich lässt sich auch unser Ausgangsproblem lösen: limn->00 (1+1/n)n. Ich ersetzte zunächst den Index n durch die reelle Zahl 1/x und erhalte limx->00 (1+1/x)x = limx->00 ex*ln(1+1/x) = e^( limx->00 x*ln(1+1/x) ) und nach de l'Hospital ist
limx->00 x*ln(1+1/x) = limx->00 ln(1+1/x) / 1/x = -1/(x*(x+1)) / (-1/x2) = limx->00 x/(x+1) = limx->00 1/(1+1/x) = 1, also
limx->00 (1+1/x)x = e1 = e
q.e.d.
Grenzwerte für unbestimmte Ausdrücke lassen sich also berechnen (sofern sie existieren) und haben nicht immer den gleichen Wert, so ist z. B. limn->00 1n = 1 aber nicht jedoch limn->00 (1+1/n)n, beidesmal ist der unbestimmte Ausdruck aber 100! Unbestimmte Audrücke lassen sich nicht definieren, da sie jeden beliebigen Wert annehmen können, deswegen heißen sie ja unbestimmt; dennoch lassen sich deren Grenzwerte bestimmen!
Natürlich ist klar, dass ich den Fehler nicht machen darf limn->00 (1+1/n)n mit limn->00 ( limn->00 (1+1/n) )n gleichzusetzen, weil dann limn->00 1n = 1 rauskommt. Denn wenn ich die Folge an^bn habe so ist lim an^bn nicht unbedingt lim (lim an)^bn. Dieser Grenzwertsatz existiert nicht.
Gruß Toby |
superknowa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 00:57: |
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Analytische Funktionen f(x) und g(x), die für ein bestimmtes x=c beide gegen die Null gehen, erfüllen
limx®c f(x)g(x) = 1
superknowa |
superknowa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 00:59: |
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Siehe auch diesen (englischen) Beitrag |
AnnaMaria
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 08:34: |
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http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/4336.html? |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 14:06: |
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Hallo!
Das man sich schon so lange Gedanken über den Ausdruck 00 gemacht hat, habe ich nicht gewusst.
Das einzige, was ich gegen die Definition von 0^0=1 einwenden würde ist, dass dabei limx->0 0x = 1 folgen würde. Das ist in dem Text natürlich wegen der Unbedeutung der Fkt. x0 natürlich gern in Kauf genommen worden.
Wenn man meinen letzten Abschnitt nicht auf den (un)bestimmten Ausdruck 00 bezieht, so umgeht man das Problem.
Gruß Toby |
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