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Sophia Marklstorfer (goo2)
Neues Mitglied
Benutzername: goo2
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Dezember, 2002 - 11:52: | 
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Gegeben sei die Funktionenschar f_t mit t € R+
f_t: -> f_t(x)= 1/8 t mal x*3 - 1,5t mal x*2 + 4,5t mal x;
x e R.
1.1 Führe eine Kurvendiskussion für eine beliebige Funktion f_t der Funktionenschar durch. Dabei darf man keinen speziellen Wert für den Parameter t annehmen!
Bestimme daszu die Nullstellen, die Extrempunkte, die Wendepunkte und die Gelichung der Wendetangenten.
1.2 Stelle f_1 udn f_2 für t=2 im Intervall
Eckige Klammern (0;6) graphisch dar.
Führe keine erneute Kurvendiskussion durch, sondern benutze die Ergebnisse aus Teil 1.1!
1.3 Zeige, dass sich die Wendetangente aller Graphen der Funktion f_t der Schar in dem Punkt (16/3 ;0) schneiden.
1.4 Jeder Graph der Funktionenschar schließt mit der x-Achse eine Fläche A ein.
Berechne die Maßzahl dieses Flächeninhalts.
Für welchen Wert t hat der Inhalt die Größe A=9?
Ich habe die Koeffizienten der Funktionenschar in
(1/8 ; 1/2 ; und 9/2 ) Brüche verwandelt. Aber diese 1/8 haben mich getillt. Kann mir jemand den Anfang Zeigen?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 774
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Dezember, 2002 - 15:10: |
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ft(x)=t*x3/8 - 3*t*x2/2 + 9*t*x/2
ft(x)=t*x*(x2 - 12*x + 36)/8 = t*x*(x-6)2/8
1.1
x-Wert der 0stellen, Extrema, und des Wendepunktes sind nicht von t abhängig
Nullstellen: 0, 6 ( Doppelte 0stelle)
f't(x) = t*[1*(x-6)2+x*2*(x-6)]/8 = t(x-6)(3x-6)/8
f't(x) = 3t(x-6)(x-2)/8
f"t(x) = 3t[(x-2)+(x-6)]/8 = 3t(x-4)/4
Extremum x=6, f"t(6) = +3t/2: Max. für t<0, Min. für t>0
Extremum x=2, f"t(2) = -3t/2; Min. für t<0, Max. für t>0
Wendepunkt bei x=4, f't(4)=3*t*(-2)*(2)/8 = -3t/2
Wendetangente
wt(x) = ft(4) + (x-4)*f't(4) setzte ein.
1.2 Auf der Homepage ( HOME unten auf der Seite klicken )
bietet Zahlreich eine Funktionplotter. Verwende diesen
1.3 setzte x = 16/3 in die Gleichung für w ein.
1.4 Integriere ft(x)= t*x*(x-6)2/8
im Intervall 0 bis 6, also zwischen den 0stellen, das ist der Flächeninhalt.
Er ist direkt proportional zu t, also k*t, löse für A=9 also die entsprechende Gleichung.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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