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Beitrag |
    
Steve JK (f2k)
Junior Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 18:53: | 
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hallo ihr!
ich hab hier 2 "lustige" gleichungen zu lösen, mit denen ich nicht fertig werde:
vielleicht könnte einer von euch mir ja helfen, die nullstellen von:
f(x) = sin(3x) - cos(x)
und
g(x) = 2cos(2x) - 8cos(x) - 5
zu berechnen?!
vielen dank im voraus!
kipping |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 290
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Dezember, 2002 - 23:19: |
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Hi,
das erste Beispiel ist verblüffend einfach zu lösen!
sin(3x) - cos(x) = sin(3x) - sin(90° - x), 2. Additionstheorem:
2*sin(2x - 45°)*cos(2x + 45°) = 0
sin(2x - 45°) = 0 + k*180°, k €Z
2x = 45° + k*180°
x = 22,5° + k*90°
=================
Beim zweiten Beispiel stört die 5 das schöne Gesamtbild...., mit Newton ergibt sich (x im Bogenmaß!):
N1(2,28937|0), weiter alle 2k*pi
N2(3,99381|0), weiter alle 2k*pi, k € Z
[N3(8,57256|0), N4(10,277|0), ....]
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 291
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Dezember, 2002 - 00:00: |
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Sorry, beim ersten Beispiel fehlt noch das Nullsetzen des 2. Faktors:
cos(2x + 45°) = 0
2x + 45° = 90° + k*180°
2x = 45° + k*180°
x = 22,5° + k*90°
=================
wie man aber sieht, hat sich deswegen keine neue Lösung ergeben ....
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 18., Dezember. 2002 von mythos2002 editiert) |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 292
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Dezember, 2002 - 20:46: |
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Hallo,
sorry wegen Fehler beim 2. Faktor!
sin(3x) wurde - weil zu kompliziert - nicht nach dem 1. Summensatz aufgelöst!
Vielmehr ist sin(3x) - cos(x) folgendermaßen umgeformt worden:
Erst wurde cos(x) durch sin (90° - x) ersetzt!
Weil sin (a) = sin(180 - a), gilt klarerweise auch: cos(x) = sin(90° + x)!!
Nun steht sin(3x) - sin (90 - x), darauf ist der 2. Summensatz anzuwenden!
sin(a) - sin(b) = 2*sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2], a = 3x, b = 90 - x
somit entsteht:
2*sin(2x - 45°)*cos(x + 45°) = 0
sin(2x - 45°) = 0 + k*180°, k €Z
2x = 45° + k*180°
x = 22,5° + k*90°
=================
Beim 2. Faktor ist mir ein Fehler unterlaufen, es heisst ja cos[(a+b)/2]!!, (a + b)/2 = x + 45 und nicht 2x + 45!
der 2. Faktor:
cos(x + 45°) = 0
x + 45° = 90° + k*180°, k€Z
x = 45° + k*180° ist die 2. Lösung!!
=============
Mit (90° + x) statt (90° - x) funktioniert der Ansatz übrigens auch und bringt dasselbe Ergebnis:
sin(3x) - sin (90 + x), darauf ist der 2. Summensatz anzuwenden!
sin(a) - sin(b) = 2*sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2], a = 3x, b = 90 + x
somit entsteht:
2*sin(x - 45°)*cos(2x + 45°) = 0
x - 45° = 0° + k*180°, k€Z
x = 45° + k*180°
=============
2. Faktor:
2x + 45° = 90° + k*180°
x = 22,5° + k*90°
==============
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 293
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Dezember, 2002 - 11:05: |
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Beim 2. Beispiel gibt's (bei näherem Hinsehen) doch einen anderen Weg:
Das funktioniert so, dass man alle Funktionen nur in dem Argument x ausdrückt und dann nur auf eine Winkelfunktion (hier cosx) bringt.
g(x) = 2cos(2x) - 8cos(x) - 5 = 0
2*(cos²x - sin²x) - 8*cosx - 5 = 0; sin²x = 1 - cos²x (wieder ein Formel ;-))
2cos²x - 2 + 2cos²x - 8cosx - 5 = 0
4cos²x - 8cosx - 7 = 0, d. i. eine quadratische Gleichung in cosx
cos1,2(x) = [8 +/- sqrt(64 + 112)]/8
cos1,2(x) = [8 +/- sqrt(176)]/8 = 1 +/- sqrt(11*16)/8 = 1 +/- 4*sqrt(11)/8 = 1 +/- sqrt(11)/2
das positive Vorzeichen der Wurzel führt zu keiner (reellen) Lösung, weil cosx kleiner als 1 sein muss
cosx = 1 - sqrt(11)/2 = - 0,65831
x1 = 131,1713° = 2,28937 rad, also wie auch bei der Näherungsrechnung;
x2 = 2*pi - 2,28937 = 3,99381 rad (2. Nebenwert im 3. Quadranten)
zugegeben, dieser Weg ist der schönere, weil exakt!
Gr
mYthos
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