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Punkte am Kreis

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 07. Januar 2003 Archiviert bis Seite 4 » Punkte am Kreis « Zurück Vor »

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Desasta (mastaofdesasta)
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Benutzername: mastaofdesasta

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 19:55:   Beitrag drucken

Hallo

hab da nen grundlegendes Problem mit ner HA kann mir jemand den Rechenweg erläutern. Keine Ergebnisse nur die Vorgehensweise bitte:

Bestimme den Kreis durch die Punkte A und B, welcher die gerade g berührt.

A (2;3) B(6;3)
g: [x - Vektor(9;0)] * Vektor(1;3) = 0

Wie muss ich vorgehen.

mfg
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kai (kai14)
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Benutzername: kai14

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 22:05:   Beitrag drucken

Tipp: A, B und g haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M. Stelle Gleichungen auf, um M zu ermitteln, dann kennst Du auch den Kreis.
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Chip (chip)
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Benutzername: chip

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Dezember, 2002 - 08:22:   Beitrag drucken

Hy!

M ist der Schnittpunkt der Streckensymmetrale von A und B mit der Gerade g.

Gruß

Chip
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1909
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Dezember, 2002 - 18:22:   Beitrag drucken

Hi Desasta,

ich zeige Dir im Folgenden zwei ganz verschiedene rechnerische
Lösungen zu Deinem Problem.
Ich empfehle Dir, eine Freihandskizze der geometrischen
Gegebenheiten anzufertigen und alle Elemente (Punkte, Geraden)mit ihren Bezeichnungen darin einzutragen.

1.Methode : Diskriminantenmethode

Lösungskonzept:

Die Mittelpunkte aller Kreise c, welche durch die gegebenen
Punkte A und B gehen, liegen auf der mittelsenkrechten Geraden
m dieser Punkte.
Wir wählen einen beliebigen Kreis aus und schneiden ihn mit der
gegebenen Geraden g in den Punkten S1 und S2 .
Soll nun c die Gerade g berühren, so müssen S1 und S2
zusammenfallen.
Wir erreichen diese Koinzidenz durch Nullsetzen der Diskriminante
einer gewissen quadratischen Gleichung.

Ausführung:
Die Mittelsenkrechte der Punkte A(2/3) und B(6/3) ist zur y-Achse parallel und hat die Gleichung x = 4.
Für den Mittelpunkt M auf m machen wir daher den Ansatz M(4/v),
wobei v eine zu bestimmende Konstante ist.
Der Radius r des Kreises spielt die Rolle eines Parameters r und ist eine weitere Unbekannte.
Für die Gleichung des Kreises c setzen wir daher an:
(x - 4) ^ 2 + ( y – v ) ^ 2 = r ^ 2……………………………......................(1)
Wir nützen die Tatsache aus, dass A(2/3) auf c liegt;
es kommt daher:
(2 - 4) ^ 2 + ( 3 – v ) ^ 2 = r ^ 2 , daraus
r^2 = v^2 – 6 v + 13; das kommt davon: heute ist Freitag, der 13 …………(13)
Dies setzen wir in (1) ein; wir erhalten zunächst
x^2 – 8 x + 16 + y^2 - 2 v y + v ^ 2 = v^2 – 6 v + 13 oder
x^2 – 8x + y^2 - 2 v y + 6 v + 3 = 0………………………………………(14)
Nun verwenden wir die nach y aufgelöste Gleichung von g:
y = - 1/3 x + 3………………………………………………………………(15)
Nun ermitteln wir die x-Werte der Schnittpunkte Gerade g / Kreis c,
indem wir y aus (15) in (14) einsetzen;
nach starker Vereinfachung entsteht die quadratische Gleichung in x:
5 x ^2 + 3 * ( v - 15 ) * x + 54 = 0 ………………………………………… (16)

Die Diskriminante delta dieser Gleichung lautet
9 * ( v – 15 ) ^2 – 1080
Setzt man D = 0, damit der Kreis c die Gerade g berühre,
so erhält man eine quadratische Gleichung für v, nämlich:
(v – 15 ) ^ 2 = 120………………………………………………………… (17)
mit den Lösungen
v1 = 15 + wurzel(120)………………………………………………………..(18)
v2 = 15 - wurzel(120)………………………………………………………..(19)

Damit haben wir die y - Koordinaten der Mittelpunkte
der beiden möglichen Kreise c1, c2 berechnet.
Für die Radien erhalten wir nach (13)die Werte

r1 ^ 2 = 268 + 48 * wurzel (30)………………………………………………20)
r1 ^ 2 = 268 + 48 * wurzel (30)………………………………………………20)

Fortsetzung folgt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1911
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Dezember, 2002 - 18:17:   Beitrag drucken


Hi Desasta,

Ich führe Dir eine weitere Methode vor, wie man den Kreis c
finden kann, der durch die gegebenen Punkte A und B geht
und der die gegebene Gerade g berührt.

2. Methode:
Anwendung des Sekanten – Tangentensatzes der Planimetrie.

Lösungskonzept:

Der Berührungspunkt des gesuchten Kreises c mit der Geraden g sei T.
Wir ermitteln den Schnittpunkt S der Geraden h,
welche die Punkte A und B verbindet, mit der Tangente g.
Auf die Kreissekante h und die Kreistangente g wenden wir den
Sekanten – Tangentensatz an und zwar mit dem Punkt S als Ausgangspunkt.
Nach diesem Satz gilt:
SA * SB = ST * ST
Die Masszahlen der Strecken SA uns SB sind bekannt,
daher auch ihr Produkt.
Damit ist die Tangentenstrecke ST = t bekannt, nämlich
u = wurzel (SA*SB).
Diese Strecke u tragen wir auf g (der Kreistangente) von S aus
nach beiden Seiten ab und erhalten mit den beiden Endpunkten
je die Berührungspunkte der beiden Kreise c1 und c2.

Wir wollen uns auf den ersten Kreis c1 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T1 errichten wir die Normale n1 auf g.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Mittelsenkrechten m ist der Mittelpunkt des Kreises c1.

Wir wollen uns auf den zweiten Kreis c2 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T2 errichten wir die Normale n2 auf g.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Mittelsenkrechten m ist der Mittelpunkt des Kreises c2.

Durchführung:

Die Verbindungsgerade h der Punkte A(2/3) und B(6/3)
ist die Parallele y = 3 zur x-Achse.
Ihr Schnittpunkt mit der Geraden g d.h. mit x + 3 y = 9 ist der
Punkt S(0/3) auf der y-Achse.
Wir benötigen später auch den Schnittpunkt C(9/0) von g
mit der x-Achse.
Die Streckenlänge SA ist 2, die Schneckenlänge (!) SB
{B wie Berta} ist 6,
daraus folgt u = ST = wurzel ( 2 * 6 ) = wurzel ( 12 )
Um diese Strecke u auf der Geraden g von S aus bequem abtragen
zu können, schreiben wir die Gleichung von u in Parameterform
mit S(0/3) als Anfangspunkt.
Als Richtungsvektor verwenden wir den auf die Länge 1
verkürzten (gestauchten) Vektor v = SC = {9;-3};
nach erfolgter Normierung: v1 = 1/wurzel(10) * {3;-1}.
Gleichung von g (mit t als Parameter):
x = 3 / wurzel(10) * t ; y = 3 - 1 / wurzel(10) * t
Kontrolle: setze t = 0, und Du bekommst den Punkt S,
setze t = wurzel(90), und du hast den Punkt C.
Beachte, dass die Länge der Strecke SC wurzel (90) ist.
Alles o.k.!
Wir berechnen im Folgenden nur den Berührungspunkt T1
des ersten Kreises c1.
Zu diesem Zweck setzen wir t = wurzel (12) ein und erhalten
aus der Geradengeichung in Parameterform, wenn wir t = wurzel(12)
einsetzen ( T = T1 )
xT = 3 * wurzel(6/5) , y T = 3 –wurzel(6/5)
***********************************

De Normale n zu g hat die Steigung m = 3, da g die Steigung
– 1/3 hat.
Eine Gleichung von n lautet daher so:
y – 3 + wurzel(6/5) = 3 * [ x – 3 * wurzel(6/5) ];
setzen wir darin x = 4 ein (Gleichung der Mittelsenkrechten m),
so erhalten wir die y-Koordinate des Mittelpunktes
des ersten Kreises c1, nämlich

y = 15 – wurzel (120),
******************
ein altbekannter Term!


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


(Beitrag nachträglich am 14., Dezember. 2002 von Megamath editiert)

(Beitrag nachträglich am 14., Dezember. 2002 von Megamath editiert)
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1912
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Dezember, 2002 - 21:12:   Beitrag drucken

Hi Desasta,

Deine Aufgabe ist eine der klassischen Berührungsaufgaben des
berühmten altgriechischen Geometers
Apollonius von Perge (geb.um 262 v.Chr).

Das apollonische Berührungsproblem lautet so:
Wenn von Kreisen, Geraden und Punkten je drei Stücke gegeben sind,
so soll ein Kreis gefunden werden, der durch die gegebenen Punkte geht
(sofern solche vorliegen), die gegebenen Geraden berührt(sofern solche vorliegen)
und die gegebenen Kreise berührt (sofern solche vorhanden sind).
Die Mittelpunkte und Radien der Kreise sind zu konstruieren.

Es gibt 10 solche Aufgaben:
Gegeben sind:

Ein Kreis , ein Punkt, eine Gerade:
Zwei Punkte und eine Gerade
Zwei Punkte und ein Kreis
Zwei Gerade und ein Punkt
Zwei Gerade und ein Kreis
Zwei Kreise und ein Punkt
Zwei Kreise und eine Gerade
Drei Punkte
Drei Gerade
Drei Kreise

Die vorliegende Aufgabe ist die Nummer 2 in der obigen Aufzählung
und von mittlerem bis leichtem Schwierigkeitsgrad..
Die letzte ist wohl die schwierigste.(im allgemeinen hat dieses Problem
acht verschiedene Lösungen !).

In einem letzten Teil werde ich Dir eine konstruktive Lösung der
vorgelegten Aufgabe vorführen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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elsa pokorny (elsa13)
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Benutzername: elsa13

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Dezember, 2002 - 10:03:   Beitrag drucken

Hi Desasta,

eine andere Möglichkeit, Deine Aufgabenstellung anzugehen,
ist folgende:

Einerseits müssen die Punkte A und B die Kreisgleichung erfüllen,
andrerseits liegt der Kreismittelpunkt M (u/v)
auf der Mittelsenkrechten m der Strecke AB mit der Gleichung x = 4.

Durch Einsetzen in die Kreisgleichung erhalten wir:
4 + (3 – v )^2 = r^2…………………………..I
********************************

die gegebene Gerade g hat die Gleichung:

x + 3y – 9 = 0
*************

Der Kreismittelpunkt M (4/v) hat von der Geraden g den Abstand r,
diesen berechnen wir mit der Abstandsformel von HESSE:

Die Hesse’sche Normalform der Geraden g lautet:
(x + 3y – 9) / wurzel(10) = 0,

daraus der Abstand r des Kreismittelpunktes M (4/v) von der Geraden g:

r = abs [(4 + 3v – 9) / wurzel (10)] ……………….II
***************************************

II in I einsetzen ergibt:

4 + (3 – v )^2 = [(4 + 3v – 9) / wurzel (10)]^2

Die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind:

v1 = 15 + 2*wurzel(30)
v2 = 15 - 2*wurzel(30)
***********************

Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung I erhalten wir
die beiden Radien

r1 = ( 40 + 6*wurzel(30))/wurzel(10)
r2 = ( 40 - 6*wurzel(30))/wurzel(10)

somit sind die beiden Kreise k1 und k2 bestimmt durch:

k1 [ 4 / 15 + 2*wurzel(30); ( 40 + 6*wurzel(30))/wurzel(10) ]
k1 [ 4 / 15 - 2*wurzel(30); ( 40 - 6*wurzel(30))/wurzel(10) ]
************************************************

Freundliche Grüße
von elsa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1914
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Dezember, 2002 - 10:35:   Beitrag drucken



Hi Desasta,

Obwohl soeben Elsa mit einer tollen Lösung das Problem
von einer anderen Warte aus, nämlich mit der Formel von Hesse,
angegangen hat, warte ich mit einer Variante als Zugabe auf,
selbst auf die Gefahr hin, damit Eulen nach Athen zu tragen.

Der Titel lautet: Prinzip der Ortskurven
Verwendung der Gleichung einer Parabel.

Lösungsidee
Der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises liegt einerseits auf
der schon mehrfach zitierten Mittelsenkrechten m der Punkte A, B
und andrerseits auf der Parabel pa mit dem Brennpunkt in A und der
Geraden g als Leitgerade oder Direktrix, denn M hat von A und
von g je gleiche Abstände.
Die Schnittpunkte von m mit p a ergeben die beiden Mittelpunkte
M1 und M2.

Ermittlung der Parabelgleichung
Den Abstand des laufenden Punktes P(x/y) auf der gesuchten Parabel
von der Leitgeraden g berechnen wir mit der Abstandsformel von Hesse.
Wir bringen die Gleichung von g, die in ihrer impliziten Form
x + 3 y = 9 lautet, auf die Hessesche Normalform, indem wir letztere
auf null bringen und beide Seiten durch wurzel(1^2+3^2) = wurzel (10)
dividieren.
Es entsteht die HNF:
[ x + 3 y – 9 ] / wurzel (10)……………………………………………(I)
Der Abstand des Punktes P(x/y) vom Brennpunkt A ist
Wurzel [(x-2)^2 + (y-3)^2] …………………………………………...(II)
Setzt man die Terme aus (I) und (II) einander gleich,
quadriert und vereinfacht so weit wie möglich, so entsteht,
deus ex machina,
die Gleichung der Parabel:
9 x ^2 + y ^2 – 6 x y – 22 x – 6 y + 49 = 0
**********************************
Schnitt der Parabel mit der Mittelsenkrechten m, deren Gleichung x = 4
lautet, gibt eine quadratische Gleichung in y, nämlich
144 + y ^ 2 - 24 y - 88 – 6 y + 49 = 0 oder einfacher:
y ^ 2 – 30 y + 105 = 0
******************
mit den bereits bekannten Lösungen:

y1 = 15 + wurzel(120)
y2 = 15 - wurzel(120)

für die y-Werte der beiden Mittelpunkte M1 und M2

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1915
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Dezember, 2002 - 21:01:   Beitrag drucken

Hi Desasta,

In einem letzten Teil führe ich Dir eine konstruktive Lösung der
vorgelegten Aufgabe vor.

Skizziere auf einem Blatt Papier (Format A4) eine horizontal liegende
Gerade g.
Auf derselben Seite von g wähle 2 Punkte A und B so aus,
dass die Verbindungsgerade h dieser Punkte die Gerade g auf dem
Blatt schneidet. Der Schnittpunkt wird mit S bezeichnet.

Zeichne die Mittelsenkrechte m der Strecke AB.
Wähle einen BELIEBIGEN Punkt W auf m aus.
Dieser Punkt W diene als Mittelpunkt eines Kreises k,
der durch A und B.geht. Zeichne diesen Kreis
und schalte eine Denkpause ein.

Von S aus ist eine (der zwei) Tangenten u an den Kreis k zu legen;
der Berührungspunkt sei U.
Fasse die Strecke SU = s ins Auge und in den Zirkel.
Mit S als Zentrum und s als Radius ist der Kreis c zu ziehen,
der die Gerade g in den Punkten T1 und T2 schneidet.
Einer dieser Punkte ist wahrscheinlich nicht auf dem Blatt.
Nehmen wir den andern, T1 , der auf dem Blatt liegt

Dieser Punkt ist der Berührungspunkt von g mit dem gesuchten Kreis!
Um den Mittelpunkt M1 dieses Kreises zu finden, errichten wir in T1
die Senkrechte zu g, welche die Mittelsenkrechte m in M1 schneidet.
Volà!

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath






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