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Beitrag |
    
Steve JK (f2k)
Junior Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 22:49: | 
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hallo ihr!
ich hab ne generelle frage: wie geh ich im allgemeinen vor, wenn ich das unbestimmte integral von brüchen errechnen will?
es soll ja keine umkehrung der quotientenregel geben?!
könnte mir das jem. am beispiel von
integral[5/(1 - cos^2(x))]dx erklären??
vielen dank im voraus |
Mh (manfred)
Mitglied
Benutzername: manfred
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Dezember, 2002 - 19:17: |
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Hallo, Steve.
Es gibt leider kein allgemeines Verfahren, Funktionen - auch nicht speziell Brüche - zu integrieren.
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst!
Für gebrochen-rationale Funktionen (Brüche von Polynomen) gibt es die Partitalbruchzerlegung: Dabei wird die Funktion als Summe von Brüchen ausgedrückt, die ihrerseits integrierbar sind.
Im einfachsten Fall (wenn der Nenner vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann) haben diese die Gestalt A/(x-a)n. (Es ist ja ò A/(x-a)n dx = -A/[(n-1)·(x-a)n-1] für n>1 und ò A/(x-a) dx = A·ln(x-a).)
Treten im Nenner irreduzible quadratische Faktoren auf, können die Funktionen durch Partialbrüche der Gestalt (2Ax+B)/[(x-a)²+b²] dargestellt werden. (Es ist ò 2Ax/((x-a)²+b²) dx = ln[(x-a)²+b²] und ò B/(x²+1) dx = arctan(x). [Die allgemeinere Form bringe ich auf die Schnelle nicht hin.])
Dann wird's unangenehm!
Über das Integral von 5/sin²x muß ich erst noch ein bisschen nachdenken...
Schöne Grüße und noch viel Erfolg und damit Spaß beim Integrale suchen,
Manfred |
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