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Beitrag |
    
uhu (uhu)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: uhu
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 09:48: | 
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L. hat festgestellt, daß sich bei einem Preis von p(€) je Einheit x(p) Stck am Tag absetzen lassen mit
x(p)=100(150-15/2p+10/p)
0,1< gleich p < gleich 20
Berechne den Preis p* bei dem der Umsatz maximal wird.
Bitte mit Weg, damit ich es begreife. |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 196
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 16:49: |
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siehe hier:
http://www.lern1.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi? tpc=9308&post=119723#POST119723 |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1907
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 21:44: |
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Hi Adrienne,
Die gegebene, vom positiven Parameter k abhängige kubische
Funktion in x enthält nur ungerade Potenzen in x.
Der Graph ist daher bezüglich des Nullpunktes O zentralsymmetrisch.
Es genügt daher, die Gegebenheiten für positive x, genauer für nicht
negative x zu betrachten.
Das Gebiet G, dessen Fläche durch eine geeignete Wahl von k minimiert
werden soll, liegt zwischen den Nullstellen x1 = 0 und x2 = wurzel [1+1/k]
und zwar im 1.Qadranten, wie man leicht feststellt
Man findet diese Werte x1 und x2, indem man y in ein Produkt zerlegt,
das so aussieht
y = x [ - k * x ^2 + k + 1 ] = 0
Setzt man die eckige Klammer null und löst nach x auf, so erhält man
insbesondere die Nullstelle x = x2..
Wir berechnen A durch Integration nach x:
A = int [ {- k x ^ 3 + (k+1)*x } * dx, untere Grenze 0,obere Grenze x2
Eine Stammfunktion ist
F(x) = - ¼ k * x^4 + ½ * ( k+1) * x^2
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man schliesslich den von k
abhängigen Flächeninhalt A = A(k):, nämlich:1/4 (k^2
A(k) = ¼ ( k^2 + 2 k + 1 )/ k = ¼ [k + 2 + 1 / k)
Um die Extremalstelle zu finden, leiten wir A(k) nach k ab;
Ergebnis:
A´ (k) = ¼ [ k – 1 / k^2 ]
Diese Ableitung ist null für k = 1
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Hier findet ein Minimum statt für A(k), wie man mit einer Skizze
des Graphen von A(k) in einem (k,A)-System leicht herausfindet.
Beachte, dass der Graph von A(k) zwei Asymptoten hat:
erstens die A-Achse ( k = 0),
zweitens die schiefe Asymptote A = ¼ * k + ½.
Für die minimale Fläche A* = Amin gilt mit x2 = wurzel (2)
A* = 1
*****
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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