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Adrienne (adrienne)
Neues Mitglied
Benutzername: adrienne
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 20:58: | 
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Hi,
wie löse ich folgende Aufgabe?
Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch f
k(x) = -kx^3+ (k+1) * x
Bestimme k so, dass die Fläche zwischen dem Graphen von fk und der x-Achse minimalen Flächeninhalt hat. Berechne den minimlaen Flächeninhalt.
Wie gehe ich dabei denn vor!?
DANKE! 
Adrienne |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1908
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 21:52: |
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Hi Adrienne,
Die gegebene, vom positiven Parameter k abhängige kubische
Funktion in x enthält nur ungerade Potenzen in x.
Der Graph ist daher bezüglich des Nullpunktes O zentralsymmetrisch.
Es genügt daher, die Gegebenheiten für positive x, genauer für nicht
negative x zu betrachten.
Das Gebiet G, dessen Fläche durch eine geeignete Wahl von k minimiert
werden soll, liegt zwischen den Nullstellen x1 = 0 und x2 = wurzel [1+1/k]
und zwar im 1.Qadranten, wie man leicht feststellt
Man findet diese Werte x1 und x2, indem man y in ein Produkt zerlegt,
das so aussieht
y = x [ - k * x ^2 + k + 1 ] = 0
Setzt man die eckige Klammer null und löst nach x auf, so erhält man
insbesondere die Nullstelle x = x2..
Wir berechnen A durch Integration nach x:
A = int [ {- k x ^ 3 + (k+1)*x } * dx, untere Grenze 0,obere Grenze x2
Eine Stammfunktion ist
F(x) = - ¼ k * x^4 + ½ * ( k+1) * x^2
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man schliesslich den von k
abhängigen Flächeninhalt A = A(k):, nämlich:1/4 (k^2
A(k) = ¼ ( k^2 + 2 k + 1 )/ k = ¼ [k + 2 + 1 / k)
Um die Extremalstelle zu finden, leiten wir A(k) nach k ab;
Ergebnis:
A´ (k) = ¼ [ k – 1 / k^2 ]
Diese Ableitung ist null für k = 1
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Hier findet ein Minimum statt für A(k), wie man mit einer Skizze
des Graphen von A(k) in einem (k,A)-System leicht herausfindet.
Beachte, dass der Graph von A(k) zwei Asymptoten hat:
erstens die A-Achse ( k = 0),
zweitens die schiefe Asymptote A = ¼ * k + ½.
Für die minimale Fläche A* = Amin gilt mit x2 = wurzel (2)
A* = 1
*****
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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