| Autor |
Beitrag |
    
Patrice (patte78)
Neues Mitglied
Benutzername: patte78
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 21:46: | 
|
Zeigen Sie, dass für t=0 der Mittelpunkt der Scharkugel in E liegt.
Zeigen Sie außerdem, dass M mit t=0 Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist.
A(3/0/1), B(3/4/-3), C(-1/2/-1)
Die Ebene enthält die Punkte A, B und C.
Sowie die Kugelschar:
K: (x-2)^2+(y-(2+t))^2+(z-(t-1))^2=2t^2+9
Weisen Sie nach, dass die Kugel K(t), die den kleinsten Radius hat, durch den Ursprung O geht.
Zeigen Sie durch Rechnung: Alle Kugeln haben mit der Ebene E denselben Kreis gemeinsam. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 181
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 22:08: |
|
also mal sehen:
Zeigen Sie, dass für t=0 der Mittelpunkt der Scharkugel in E liegt.
K: (x-2)^2+(y-(2+t))^2+(z-(t-1))^2=2t^2+9
mit t=0
=>(x-2)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9
===> M (2|2|-1)
A(3/0/1), B(3/4/-3), C(-1/2/-1)
=> E: y+z=1
M in E einsetzen liefert:
1=1
=> M € E q.e.d.!
der kleinste radius entsteht für t=0 , d.h. r=3
=> (x-2)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9
anders geschrieben:
[vect(x)-(2,2,-1)]^2=9
O einsetzen liefert:
[(-2,-2,1)]^2=9
4+4+1=9 => 9=9, wahre Aussage
Kugel mit kleinstem Radius geht durch ursprung! q.e.d.
mfg
tl198
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 182
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 23:07: |
|
Zeigen Sie durch Rechnung: Alle Kugeln haben mit der Ebene E denselben Kreis gemeinsam.
Mehrere Schritte:
1.) Abstand von M zu E:
HNF von E [(y+z-1)/sqrt(2)]=0
M einsetzen:
Abstand d=sqrt(2)*t
So nun brauchen wir Phythagoras:
Der Radius r' des Schnittkreises ergibt sich aus:
d^2+r'^2=r^2
r'^2=r^2-d^2
einsetzen mit d=sqrt(2)*t und r^2=2t^2+9
r'^2=(2*t^2+9)-(sqrt(2)*t)^2
r'^2=9
r'=3
Zweitens:
Gerade durch M mit Richtungsvektor n (von E)
=> g: (2,(2+t),(t-1))+r*(0,1,1)
g mit E schneiden liefert M' (Mittelpunkt des Schnittkreises)
g in E einsetzen:
((2+t)+r)+((t-1)+r)=1
r=-t
einsetzen in g liefert: M'(2|2|-1)
Insgesamt folgt:
M' und r' sind unabhängig von t!
=> K(t) hat für jedes t den selben Schnittkreis mit E!
mfg
tl198 |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 183
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 11:04: |
|
so nun der letze teil deiner doch sehr umfangreichen aufgabe:
Zeigen Sie außerdem, dass M mit t=0 Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist.
Hier will ich keine große Rechnung präsentieren! Es genügt zu zeigen, dass M zu A,B und C den gleichen Abstand hat, nämlich den radius um M der das Dreieck ABC jeweils bei A, B und C berührt! Also musst du die Beträge der Vektoren AM, BM und CM berechnen!
mfg
tl198 |
Patrice (patte78)
Neues Mitglied
Benutzername: patte78
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Dezember, 2002 - 15:37: |
|
vielen dank, hast mir echt geholfen!!! |
|
